高中数学基础01:集合与函数_追梦小乐的博客-程序员宅基地_集合与函数

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内容来自百度百科知识以及东方耀老师笔记内容的整合

1、集合

1.1 集合的定义

由一个或多个确定的元素所构成的整体叫做集合。若x是集合A的元素,则记作x∈A。

1.2 集合的三个特征

确定性(集合中的元素必须是确定的)。

互异性(集合中的元素互不相同)。例如:集合A={1,a},则a不能等于1)。

无序性(集合中的元素没有先后之分),如集合{3,4,5}和{3,5,4}算作同一个集合。

1.3 集合的元素

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的元素。

例如全中国人的集合,它的元素就是每一个中国人。我们通常用大写字母如A,B,S,T,…表示集合,而用小写字母如a,b,x,y,…表示集合的元素。
若x是集合S的元素,则称x属于S,记为x∈S。若y不是集合S的元素,则称y不属于S,记为y∉S。一般的我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含无限个元素的集合叫做无限集

1.4 有限集 & 无限集

有限集:一般的我们把含有有限个元素的集合叫做有限集
无限集:一般的我们把含有无限个元素的集合叫做有限集

1.5 集合的表示方法

列举法

描述法

符合法

1.6 集合分类

空集
有一类特殊的集合,它不包含任何元素,如{x|x∈R x^2+1=0} ,我们称之为空集,记为∅
空集是个特殊的集合,它有2个特点:
空集∅是任意一个非空集合的真子集。
空集是任何一个集合的子集

1.7 子集 & 真子集

如果集合A中含有n个元素,则集合A有2的n次方个子集,2的n次方-1个真子集

1.8 集合的一些特殊符号表示

N:非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}
N*或N+:正整数集合{1,2,3,…}
Z:整数集合{…,-1,0,1,…}
Q:有理数集合
Q+:正有理数集合
Q-:负有理数集合
R:实数集合(包括有理数和无理数)
R+:正实数集合
R-:负实数集合
C:复数集合
∅:空集(不含有任何元素的集合)

1.9 无理数

无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等

1.10 集合之间的基本运算

并集定义:
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。并集越并越多。

交集定义:
由属于A且属于B的相同元素组成的集合,记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。交集越交越少。
若A包含B(B包含于A),则A∩B=B,A∪B=A

补集:
相对补集定义:由属于A而不属于B的元素组成的集合,称为B关于A的相对补集,记作A-B或A\B,即A-B={x|x∈A,且x∉B}
绝对补集定义:A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集,记作A’或CuA或~A。有U’=Φ;Φ’=U

2、函数

2.1 函数的定义

设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使得对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称映射f:A–>B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f( x ) x∈A
其中x叫自变量,y叫做x的函数,集合A是函数的定义域,集合B是值域 f叫做对应法则

2.2 函数的三要素

定义域

值域

对应法则

2.3 函数的三种表示方法

解析法

图像法

列表法

2.4 函数的特性

有界性
设函数f(x)在区间X上有定义,如果存在M > 0,对于一切属于区间X上的x,恒有 | f(x) |≤M,则称f(x)
在区间X上有界,否则称f(x)在区间上无界

单调性
设函数f(x)的定义域为D,区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2,当x1 < x2时,恒有f(x1) < f(x2),则称函数f(x)
在区间I上是单调递增的;如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1 < x2时,恒有f(x1) > f(x2),则称函数f(x)
在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数

奇偶性
设f(x)为一个实变量实值函数,若有f(-x) = - f(x),则f(x)为奇函数。
几何上,一个奇函数关于原点对称,亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
设f(x)为一实变量实值函数,若有f(-x) = f(x),则f(x)为偶函数。
几何上,一个偶函数关于y轴对称,亦即其图在对y轴映射后不会改变。
函数的导数:如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导,则称f(x)在(a,b)上可导,则可建立f(x)的导函数,简称导数,记为f’(x)
函数y=f(x) 在点x1处的导数的几何意义:
函数y=f(x)在点x1处的导数是曲线y=f(x)在P(x1, f(x1))处的切线的斜率f’(x1)
相应的切线方程是y-y1 = f’(x1)(x - x1)

2.5 复合函数

函数的嵌套 y=f(t) t=g(x) y=f(g(x))

2.6 常函数

y=C(C是常数)

2.7 一次函数

一次函数:y=kx+b(k为一次项系数 b为常数)

2.8 二次函数

二次函数:y=ax**2 + b*x +c(a!=0)
二次函数是抛物线,但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

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