莫比乌斯函数、反演学习-程序员宅基地

详细证明、推导过程戳这里http://www.cnblogs.com/Milkor/p/4464515.html

 

一、积性函数

1、f(1)=1,若对于正整数a,b,满足f(a*b)=f(a)*f(b)

当a、b互质时,f为积性函数

若f对于任何正整数都满足,则称f为前完全积性

 

2、一个公式  ('\'为整除,‘/’为除号 )

g(m)=Σ f(d)

          d\m

 

性质:若f(d)让g(m)为积性函数,则f(d)也为积性函数

 

二、莫比乌斯函数

1、

                1            ,  d =1

μ(d)=   (-1)^k   ,  d=p1*p2*p3*^pk  pi为素数

                0            ,  d=除以上的其他数

 

2、

性质:Σ  μ(d)=[m=1]        

       d\m

其中,设y=[m=1]   :  m=1   , y=1

                     m≠1   , y=0

 

3、当p为质数时,

μ(p^k)=    -1    ,k=1 

                   0     ,k=其他数

证明:当k=1时,p^1=p,∴μ(p^1)=(-1)^1=-1

        当k!=1时,因为p是质数,所以p^k分解质因数,只能分解为k个p相乘,∴μ(p^k)=0

 

三、莫比乌斯反演 

反演公式:g(m)=Σ f(d)  <==>   f(m)= Σ  μ(d)g(m/d) 

                         d\m                               d\m

简要说一下证明过程

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