显式欧拉法求解常微分方程_音程的博客-程序员宅基地

技术标签：数学

我们求解的微分方程对象是如下这样的，左边是导数，右边是 $f (x, y)$ 。例如：
在这里插入图片描述
那么显式欧拉法的迭代步骤如下：（注意，显式欧拉法不是求解 $y (x)$ 的，而是求解一系列的点 $x_i,y_i)$ ，这些和真实函数中的点非常接近。）

其思想如下：
在这里插入图片描述
我们要解形如 $y^{'} = f (x, y)$ 这样的微分方程。

上如揭示了其奥秘。

一般你自己做微分方程的题的时候，我们都有初值，例如 $y (1) = 1$ ，那么在我们这里就令 $x_0=1,y_0=1$ 。然后你随便确定一个 $h$ ，得到 $x_1=x_0+h$ ，计算一下这个点的函数值 $y$ ，即计算 $y(x_1)$ ，记为 $y_1$ 。

但是没这么容易计算，所以我们来一个近似。

即 $y_1=y0+hf(x_0,y_0)$ ，从而我们得到了 $x_1,y_1)$ 。

当然啦，有人问这个迭代式子是怎么来的，首先你要明白，给定真实曲线上的一点 $x_0,y_0)$ ，其切线斜率为 $f(x_0,y_0)$ ，为什么?因为微分方程告诉你了， $y^{'} = f (x, y)$ ，左边不就是导数吗？所以等于右边。

你再看看图，就知道了，那个 $y_1$ 是近似的，并不是真正的 $y(x_1)$ ，然后你再看看那个更新式子，就应该明白我是如何近似计算 $y(x_1)$ 了，以直代曲嘛。

一般，我们可以通过减小 $h$ 来减小误差，那么两者就更加接近了。

我们回到开头这个问题，用这个方法来求解一下，看一下效果怎么样。

在这里插入图片描述
这个方程我们可以求得真实函数为：

我们比较一下，用上述显式欧拉法得到的一系列点和真实函数的差别，为了效果好一点，我们取 $h = 0.01$ ,从 $x_0=0$ ，一直计算到 $x = 1$ ，也就是计算100个点，看能不能模拟出[0,1]区间上的真实函数。

h=0.01
x0=0
y0=0.5
x_last=1
y=[]
x=[]
x.append(x0)
y.append(y0)
nowx=x0
while(x0<x_last):
    y0=y0+h*(-50*y0+50*x0*x0+2*x0)
    y.append(y0)
    x0=x0+h
    x.append(x0)

##绘制图像
testx=np.linspace(0,1,101)
testy=0.5*np.power(np.e,-50*testx)+testx*testx
figure=plt.figure(figsize=(20,8),dpi=80)
plt.plot(testx,testy,label="true")
plt.plot(x,y,label="h=0.01")
plt.legend()

在这里插入图片描述

发现，当h比较小的，效果还是不错的。

本文链接：https://blog.csdn.net/qq_43391414/article/details/116999271

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