设 X 为 随 机 变 量 ， I 是 一 个 包 含 0 的 ( 有 限 或 无 限 的 ) 开 区 间 ， 对 任 意 t ∈ I ， 期 望 E e t x 存 在 设X为随机变量，I是一个包含0的(有限或无限的)开区间，对任意t∈I，期望Ee^{tx}存在 设X为随机变量，I是一个包含0的(有限或无限的)开区间，对任意t∈I，期望Eetx存在
则 称 函 数 M X ( t ) = E ( e t X ) = ∫ − ∞ + ∞ e t x d F ( x ) , t ∈ I 为 X 的 矩 母 函 数 则称函数M_{X}(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infin}^{+\infin}e^{tx}dF(x),t∈I为X的矩母函数 则称函数MX(t)=E(etX)=∫−∞+∞etxdF(x),t∈I为X的矩母函数
设 X 为 任 意 随 机 变 量 ， 称 函 数 φ X ( t ) = E ( e i t X ) = ∫ − ∞ + ∞ e i t x d F ( x ) 为 X 的 特 征 函 数 设X为任意随机变量，称函数\varphi_{X}(t)=E(e^{itX})=\int_{-\infin}^{+\infin}e^{itx}dF(x)为X的特征函数 设X为任意随机变量，称函数φX(t)=E(eitX)=∫−∞+∞eitxdF(x)为X的特征函数
一 个 随 机 变 量 的 矩 母 函 数 不 一 定 存 在 ， 但 是 特 征 函 数 一 定 存 在 。 一个随机变量的矩母函数不一定存在，但是特征函数一定存在。 一个随机变量的矩母函数不一定存在，但是特征函数一定存在。
随 机 变 量 与 特 征 函 数 存 在 一 一 对 应 的 关 系 随机变量与特征函数存在一一对应的关系 随机变量与特征函数存在一一对应的关系
若 X 服 从 参 数 为 a 的 退 化 分 布 ， 那 么 f ( k ; a ) = { 1 , k = a 0 , k ≠ a 若X服从参数为a的退化分布，那么f(k;a)=\left\{\begin{matrix} 1,k=a \\ 0,k\neq a \end{matrix}\right. 若X服从参数为a的退化分布，那么f(k;a)={
1,k=a0,k=a
M ( t ) = e t a M(t)=e^{ta} M(t)=eta
φ ( t ) = e i t a \varphi(t)=e^{ita} φ(t)=eita
M ′ ( t ) = a e t a M'(t)=ae^{ta} M′(t)=aeta
E X = M ′ ( 0 ) = a EX=M'(0)=a EX=M′(0)=a
M ′ ′ ( t ) = a 2 e t a M''(t)=a^2e^{ta} M′′(t)=a2eta
E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = a 2 EX^2=M''(0)=a^2 EX2=M′′(0)=a2
D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 0 DX=EX^2-(EX)^2=0 DX=EX2−(EX)2=0
若 X 服 从 离 散 型 均 匀 分 布 D U ( a , b ) , 则 X 分 布 函 数 为 F ( k ; a , b ) = ⌊ k ⌋ − a + 1 b − a + 1 若X服从离散型均匀分布DU(a,b) ,则X分布函数为F(k;a,b)=\frac{\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1} 若X服从离散型均匀分布DU(a,b),则X分布函数为F(k;a,b)=b−a+1⌊k⌋−a+1
则 矩 母 函 数 M ( t ) = ∑ k = a b e t k P ( x = k ) 则矩母函数M(t)=\sum_{k=a}^{b} e^{tk}P(x=k) 则矩母函数M(t)=k=a∑betkP(x=k)
= ( ∑ k = a b e t k ) 1 b − a + 1 =(\sum_{k=a}^{b} e^{tk})\frac{1}{b-a+1} =(k=a∑betk)b−a+11
= e a t − e ( b + 1 ) t ( 1 − e t ) ( b − a + 1 ) =\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{(1-e^{t})(b-a+1)} =(1−et)(b−a+1)eat−e(b+1)t
特 征 函 数 φ ( t ) = ∑ k = a b e i t k P ( x = k ) 特征函数\varphi(t)=\sum_{k=a}^{b} e^{itk}P(x=k) 特征函数φ(t)=k=a∑beitkP(x=k)
= ( ∑ k = a b e i t k ) 1 b − a + 1 =(\sum_{k=a}^{b} e^{itk})\frac{1}{b-a+1} =(k=a∑beitk)b−a+11
= e a i t − e ( b + 1 ) i t ( 1 − e i t ) ( b − a + 1 ) =\frac{e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(1-e^{it})(b-a+1)} =(1−eit)(b−a+1)eait−e(b+1)it
M ′ ( t ) = 1 b − a + 1 ( a e a t − ( b + 1 ) e ( b + 1 ) t ) ( 1 − e t ) + ( e a t − e ( b + 1 ) t ) e t ( e t − 1 ) 2 M'(t)=\frac{1}{b-a+1}\frac{(ae^{at}-(b+1)e^{(b+1)t})(1-e^t)+(e^{at}-e^{(b+1)t})e^t}{(e^{t}-1)^{2}} M′(t)=b−a+11(et−1)2(aeat−(b+1)e(b+1)t)(1−et)+(eat−e(b+1)t)et
t = 0 为 M ′ ( t ) 的 可 去 间 断 点 ， 补 充 定 义 M ′ ( 0 ) = lim t → 0 M ′ ( t ) t=0为M'(t)的可去间断点，补充定义M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}M'(t) t=0为M′(t)的可去间断点，补充定义M′(0)=t→0limM′(t)
E X = M ′ ( 0 ) = lim t → 0 1 b − a + 1 ( a 2 e a t − ( b + 1 ) 2 e ( b + 1 ) t ) ( 1 − e t ) + ( e a t − e ( b + 1 ) t ) e t 2 ( e t − 1 ) e t EX=M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})(1-e^t)+(e^{at}-e^{(b+1)t})e^t}{2(e^{t}-1)e^t} EX=M′(0)=t→0limb−a+112(et−1)et(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)(1−et)+(eat−e(b+1)t)et
= lim t → 0 1 b − a + 1 ( a 2 e a t − ( b + 1 ) 2 e ( b + 1 ) t ) ( e − t − 1 ) + ( e a t − e ( b + 1 ) t ) 2 ( e t − 1 ) =\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})(e^{-t}-1)+(e^{at}-e^{(b+1)t})}{2(e^{t}-1)} =t→0limb−a+112(et−1)(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)(e−t−1)+(eat−e(b+1)t)
= lim t → 0 1 b − a + 1 ( a 3 e a t − ( b + 1 ) 3 e ( b + 1 ) t ) ( e − t − 1 ) − ( a 2 e a t − ( b + 1 ) 2 e ( b + 1 ) t ) e − t + ( a e a t − ( b + 1 ) e ( b + 1 ) t ) 2 e t =\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^3e^{at}-(b+1)^3e^{(b+1)t})(e^{-t}-1)-(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})e^{-t}+(ae^{at}-(b+1)e^{(b+1)t})}{2e^{t}} =t→0limb−a+112et(a3eat−(b+1)3e(b+1)t)(e−t−1)−(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)e−t+(aeat−(b+1)e(b+1)t)
= − a 2 + ( b + 1 ) 2 + a − ( b + 1 ) 2 ( b − a + 1 ) =\frac{-a^2+(b+1)^2+a-(b+1)}{2(b-a+1)} =2(b−a+1)−a2+(b+1)2+a−(b+1)
= − a 2 + ( b + 1 ) 2 2 ( b − a + 1 ) − 1 2 =\frac{-a^2+(b+1)^2}{2(b-a+1)}-\frac{1}{2} =2(b−a+1)−a2+(b+1)2−21
= ( b + 1 − a ) ( b + 1 + a ) 2 ( b − a + 1 ) − 1 2 =\frac{(b+1-a)(b+1+a)}{2(b-a+1)}-\frac{1}{2} =2(b−a+1)(b+1−a)(b+1+a)−21
= b + 1 + a 2 − 1 2 =\frac{b+1+a}{2}-\frac{1}{2} =2b+1+a−21
= b + a 2 =\frac{b+a}{2} =2b+a
由 于 对 M ′ ( t ) 求 导 得 到 M ′ ′ ( t ) ， 再 求 M ′ ′ ( 0 ) 的 方 法 比 较 繁 琐 ， 而 我 们 只 需 要 t = 0 时 M 的 二 阶 导 数 值 ， 由于对M'(t)求导得到M''(t)，再求M''(0)的方法比较繁琐，而我们只需要t=0时M的二阶导数值， 由于对M′(t)求导得到M′′(t)，再求M′′(0)的方法比较繁琐，而我们只需要t=0时M的二阶导数值，
因 此 可 以 考 虑 使 用 T a y l o r 公 式 计 算 M ′ ′ ( 0 ) 因此可以考虑使用Taylor公式计算M''(0) 因此可以考虑使用Taylor公式计算M′′(0)
令 1 − e t = u , t = 0 时 , u = 0 令1-e^t=u,t=0时,u=0 令1−et=u,t=0时,u=0
M ( t ) = e a t − e ( b + 1 ) t ( 1 − e t ) ( b − a + 1 ) M(t)=\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{(1-e^{t})(b-a+1)} M(t)=(1−et)(b−a+1)eat−e(b+1)t
= 1 b − a + 1 u a − u b + 1 u =\frac{1}{b-a+1}\frac{u^a-u^{b+1}}{u} =b−a+11uua−ub+1
= 1 b − a + 1 1 + a 1 ! ( − u ) + a ( a − 1 ) 2 ! u 2 + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 3 ) + o ( u 3 ) − 1 − b + 1 1 ! ( − u ) − ( b + 1 ) b 2 ! u 2 − ( b + 1 ) b ( b − 1 ) 3 ! ( − u 3 ) − o ( u 3 ) u =\frac{1}{b-a+1}\frac{1+\frac{a}{1!}(-u)+\frac{a(a-1)}{2!}u^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^3)+o(u^3)-1-\frac{b+1}{1!}(-u)-\frac{(b+1)b}{2!}u^2-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^3)-o(u^3)}{u} =b−a+11u1+1!a(−u)+2!a(a−1)u2+3!a(a−1)(a−2)(−u3)+o(u3)−1−1!b+1(−u)−2!(b+1)bu2−3!(b+1)b(b−1)(−u3)−o(u3)
= 1 b − a + 1 a 1 ! ( − u ) + a ( a − 1 ) 2 ! u 2 + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 3 ) + o ( u 3 ) − b + 1 1 ! ( − u ) − ( b + 1 ) b 2 ! u 2 − ( b + 1 ) b ( b − 1 ) 3 ! ( − u 3 ) u =\frac{1}{b-a+1}\frac{\frac{a}{1!}(-u)+\frac{a(a-1)}{2!}u^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^3)+o(u^3)-\frac{b+1}{1!}(-u)-\frac{(b+1)b}{2!}u^2-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^3)}{u} =b−a+11u1!a(−u)+2!a(a−1)u2+3!a(a−1)(a−2)(−u3)+o(u3)−1!b+1(−u)−2!(b+1)bu2−3!(b+1)b(b−1)(−u3)
= 1 b − a + 1 ( ( b + 1 − a ) + a ( a − 1 ) 2 ! u + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 2 ) + o ( u 2 ) − ( b + 1 ) b 2 ! u − ( b + 1 ) b ( b − 1 ) 3 ! ( − u 2 ) ) =\frac{1}{b-a+1}((b+1-a)+\frac{a(a-1)}{2!}u+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^2)+o(u^2)-\frac{(b+1)b}{2!}u-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^2)) =b−a+11((b+1−a)+2!a(a−1)u+3!a(a−1)(a−2)(−u2)+o(u2)−2!(b+1)bu−3!(b+1)b(b−1)(−u2))
= 1 + a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) u + ( b + 1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( b − a + 1 ) u 2 + o ( u 2 ) =1+\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}u+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}u^2+o(u^2) =1+2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)bu+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2)u2+o(u2)
而 u = 1 − e t = − t − t 2 2 ! + o ( t 2 ) 而u=1-e^t=-t-\frac{t^2}{2!}+o(t^2) 而u=1−et=−t−2!t2+o(t2)
因 此 M ( t ) = 1 − a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) t − a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) t 2 2 ! + ( b + 1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( b − a + 1 ) t 2 + o ( t 2 ) 因此M(t)=1-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}t-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}\frac{t^2}{2!}+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}t^2+o(t^2) 因此M(t)=1−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)bt−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b2!t2+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2)t2+o(t2)
又 因 为 M ( t ) = M ( 0 ) + M ′ ( 0 ) t + M ′ ′ ( 0 ) 2 ! t 2 + o ( t 2 ) 又因为M(t)=M(0)+M'(0)t+\frac{M''(0)}{2!}t^2+o(t^2) 又因为M(t)=M(0)+M′(0)t+2!M′′(0)t2+o(t2)
因 此 M ′ ( 0 ) = − a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) = a + b 2 因此M'(0)=-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}=\frac{a+b}{2} 因此M′(0)=−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b=2a+b
E X = M ′ ( 0 ) = a + b 2 EX=M'(0)=\frac{a+b}{2} EX=M′(0)=2a+b
而 M ′ ′ ( 0 ) = 2 ! ∗ ( − a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 4 ( b − a + 1 ) + ( b + 1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( b − a + 1 ) ) 而M''(0)=2!*(-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{4(b-a+1)}+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}) 而M′′(0)=2!∗(−4(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2))
= a + b 2 + ( b + 1 − a ) ( b 2 + a b − b + a 2 − 2 a ) 3 ( b − a + 1 ) =\frac{a+b}{2}+\frac{(b+1-a)(b^2+ab-b+a^2-2a)}{3(b-a+1)} =2a+b+3(b−a+1)(b+1−a)(b2+ab−b+a2−2a)
= a + b 2 + b 2 + a b − b + a 2 − 2 a 3 =\frac{a+b}{2}+\frac{b^2+ab-b+a^2-2a}{3} =2a+b+3b2+ab−b+a2−2a
= 2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b + b − a 6 =\frac{2a^2+2b^2+2ab+b-a}{6} =62a2+2b2+2ab+b−a
D X = E X 2 − ( E X ) 2 = M ′ ′ ( 0 ) − ( E X ) 2 DX=EX^2-(EX)^2=M''(0)-(EX)^2 DX=EX2−(EX)2=M′′(0)−(EX)2
= 2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b + b − a 6 − a 2 + 2 a b + b 2 4 =\frac{2a^2+2b^2+2ab+b-a}{6}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4} =62a2+2b2+2ab+b−a−4a2+2ab+b2
= ( b − a + 1 ) 2 − 1 12 =\frac{(b-a+1)^2-1}{12} =12(b−a+1)2−1
若 X 服 从 伯 努 利 分 布 B ( 1 , p ) , 则 X 满 足 P ( x = 1 ) = p , P ( x = 0 ) = 1 − p = q 若X服从伯努利分布B(1,p) ,则X满足P(x=1)=p, P(x=0)=1-p=q 若X服从伯努利分布B(1,p),则X满足P(x=1)=p,P(x=0)=1−p=q
M ( t ) = p e t + 1 − p M(t)=pe^{t}+1-p M(t)=pet+1−p
φ ( t ) = p e i t + 1 − p \varphi(t)=pe^{it}+1-p φ(t)=peit+1−p
M ′ ( t ) = p e t M'(t)=pe^{t} M′(t)=pet
E X = M ′ ( 0 ) = p EX=M'(0)=p EX=M′(0)=p
M ′ ′ ( t ) = p e t M''(t)=pe^{t} M′′(t)=pet
E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = p EX^{2}=M''(0)=p EX2=M′′(0)=p
D X = E X 2 − ( E X ) 2 = p ( 1 − p ) DX=EX^{2}-(EX)^{2}=p(1-p) DX=EX2−(EX)2=p(1−p)
若 X 服 从 二 项 分 布 B ( n , p ) , 则 X 满 足 f ( k ; n , p ) = P ( x = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k ( n 为 整 数 ) 若X服从二项分布B(n,p) ,则X满足f(k;n,p)=P(x=k)=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k} (n为整数) 若X服从二项分布B(n,p),则X满足f(k;n,p)=P(x=k)=Cnkpk(1−p)n−k(n为整数)
因 为 服 从 二 项 分 布 的 变 量 可 以 看 作 n 个 独 立 相 同 的 服 从 伯 努 利 分 布 的 变 量 之 和 因为服从二项分布的变量可以看作n个独立相同的服从伯努利分布的变量之和 因为服从二项分布的变量可以看作n个独立相同的服从伯努利分布的变量之和
因 此 M ( t ) = ( p e t + 1 − p ) n 因此M(t)=(pe^{t}+1-p)^{n} 因此M(t)=(pet+1−p)n
φ ( t ) = ( p e i t + 1 − p ) n \varphi(t)=(pe^{it}+1-p)^{n} φ(t)=(peit+1−p)n
M ′ ( t ) = n p ( p e t + 1 − p ) n − 1 e t M'(t)=np(pe^{t}+1-p)^{n-1}e^{t} M′(t)=np(pet+1−p)n−1et
E X = M ′ ( 0 ) = n p EX=M'(0)=np EX=M′(0)=np
M ′ ′ ( t ) = n ( n − 1 ) p 2 ( p e t + 1 − p ) n − 2 e 2 t + n p ( p e t + 1 − p ) n − 1 e t M''(t)=n(n-1)p^{2}(pe^{t}+1-p)^{n-2}e^{2t}+np(pe^{t}+1-p)^{n-1}e^{t} M′′(t)=n(n−1)p2(pet+1−p)n−2e2t+np(pet+1−p)n−1et
E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = n ( n − 1 ) p 2 + n p EX^{2}=M''(0)=n(n-1)p^{2}+np EX2=M′′(0)=n(n−1)p2+np
D X = E X 2 − ( E X ) 2 = n p ( 1 − p ) DX=EX^{2}-(EX)^{2}=np(1-p) DX=EX2−(EX)2=np(1−p)
若 X 服 从 几 何 分 布 G e ( p ) , 则 X 满 足 f ( k ; p ) = P ( x = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p ( k = 1 , 2 , 3...... ) 若X服从几何分布Ge(p), 则X满足f(k;p)=P(x=k)=(1-p)^{k-1}p (k=1,2,3......) 若X服从几何分布Ge(p),则X满足f(k;p)=P(x=k)=(1−p)k−1p(k=1,2,3......)
M ( t ) = ∑ k = 1 ∞ ( 1 − p ) k − 1 p e t k M(t)=\sum_{k=1}^{\infin}(1-p)^{k-1}pe^{tk} M(t)=k=1∑∞(1−p)k−1petk
= p e t ∑ k = 1 ∞ ( ( 1 − p ) e t ) k − 1 =pe^{t}\sum_{k=1}^{\infin}((1-p)e^t)^{k-1} =petk=1∑∞((1−p)et)k−1
= p e t 1 − ( 1 − p ) e t =\frac{pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}} =1−(1−p)etpet
φ ( t ) = ∑ k = 1 ∞ ( 1 − p ) k − 1 p e i t k \varphi(t)=\sum_{k=1}^{\infin}(1-p)^{k-1}pe^{itk} φ(t)=k=1∑∞(1−p)k−1peitk
= p e i t ∑ k = 1 ∞ ( ( 1 − p ) e i t ) k − 1 =pe^{it}\sum_{k=1}^{\infin}((1-p)e^{it})^{k-1} =peitk=1∑∞((1−p)eit)k−1
= p e i t 1 − ( 1 − p ) e i t =\frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}} =1−(1−p)eitpeit
M ′ ( t ) = p e t ( 1 − ( 1 − p ) e t ) 2 M'(t)=\frac{pe^t}{(1-(1-p)e^t)^2} M′(t)=(1−(1−p)et)2pet
E X = M ′ ( 0 ) = 1 p EX=M'(0)=\frac{1}{p} EX=M′(0)=p1
M ′ ′ ( t ) = p e t ( e t − p e t + 1 ) ( 1 − ( 1 − p ) e t ) 3 M''(t)=\frac{pe^t(e^t-pe^t+1)}{(1-(1-p)e^t)^3} M′′(t)=(1−(1−p)et)3pet(et−pet+1)
E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = 2 − p p 2 EX^{2}=M''(0)=\frac{2-p}{p^2} EX2=M′′(0)=p22−p
D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 1 − p p 2 DX=EX^{2}-(EX)^{2}=\frac{1-p}{p^2} DX=EX2−(EX)2=p21−p
若 X 服 从 负 二 项 分 布 N B ( r , p ) , 则 X 满 足 f ( k ; r , p ) = ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r , k = 0 , 1 , 2 , 3...... 若X服从负二项分布NB(r,p), 则X满足f(k;r,p)=\binom{k+r-1}{k}p^{k}(1-p)^{r} , k=0,1,2,3...... 若X服从负二项分布NB(r,p),则X满足f(k;r,p)=(kk+r−1)pk(1−p)r,k=0,1,2,3......
( r 可 以 为 实 数 ， 此 时 的 分 布 称 为 波 利 亚 分 布 ) (r可以为实数，此时的分布称为波利亚分布) (r可以为实数，此时的分布称为波利亚分布)
M ( t ) = ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r e t k M(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\binom{k+r-1}{k}p^k(1-p)^re^{tk} M(t)=k=0∑∞(kk+r−1)pk(1−p)retk
= ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − r k ) p k ( 1 − p ) r e t k =\sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k\binom{-r}{k}p^k(1-p)^re^{tk} =k=0∑∞(−1)k(k−r)pk(1−p)retk
= ∑ k = 0 ∞ ( − p e t ) k ( − r k ) ( 1 − p ) r =\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^t)^k\binom{-r}{k}(1-p)^r =k=0∑∞(−pet)k(k−r)(1−p)r
= ( 1 − p ) r ∑ k = 0 ∞ ( − p e t ) k ( − r k ) 1 − r − k =(1-p)^r\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^t)^k\binom{-r}{k}1^{-r-k} =(1−p)rk=0∑∞(−pet)k(k−r)1−r−k
= ( 1 − p ) r ( 1 − p e t ) − r =(1-p)^r(1-pe^t)^{-r} =(1−p)r(1−pet)−r
φ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r e i t k \varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\binom{k+r-1}{k}p^k(1-p)^re^{itk} φ(t)=k=0∑∞(kk+r−1)pk(1−p)reitk
= ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − r k ) p k ( 1 − p ) r e i t k =\sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k\binom{-r}{k}p^k(1-p)^re^{itk} =k=0∑∞(−1)k(k−r)pk(1−p)reitk
= ∑ k = 0 ∞ ( − p e i t ) k ( − r k ) ( 1 − p ) r =\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^{it})^k\binom{-r}{k}(1-p)^r =k=0∑∞(−peit)k(k−r)(1−p)r
= ( 1 − p ) r ∑ k = 0 ∞ ( − p e i t ) k ( − r k ) 1 − r − k =(1-p)^r\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^{it})^k\binom{-r}{k}1^{-r-k} =(1−p)rk=0∑∞(−peit)k(k−r)1−r−k
= ( 1 − p ) r ( 1 − p e i t ) − r =(1-p)^r(1-pe^{it})^{-r} =(1−p)r(1−peit)−r
M ′ ( t ) = ( 1 − p ) r ( − r ) ( 1 − p e t ) − r − 1 ( − p e t ) M'(t)=(1-p)^r(-r)(1-pe^{t})^{-r-1}(-pe^t) M′(t)=(1−p)r(−r)(1−pet)−r−1(−pet)
= r p ( 1 − p ) r e t ( 1 − p e t ) − r − 1 =rp(1-p)^re^t(1-pe^t)^{-r-1} =rp(1−p)ret(1−pet)−r−1
E X = M ′ ( 0 ) = r p 1 − p EX=M'(0)=\frac{rp}{1-p} EX=M′(0)=1−prp
M ′ ′ ( t ) = r p ( 1 − p ) r e t ( 1 − p e t ) − r − 1 + r p ( 1 − p ) r e t ( − r − 1 ) ( 1 − p e t ) − r − 2 ( − p e t ) M''(t)=rp(1-p)^re^t(1-pe^t)^{-r-1}+rp(1-p)^re^t(-r-1)(1-pe^t)^{-r-2}(-pe^t) M′′(t)=rp(1−p)ret(1−pet)−r−1+rp(1−p)ret(−r−1)(1−pet)−r−2(−pet)
E X 2 = r p ( 1 − p ) − 1 + r ( r + 1 ) p 2 ( 1 − p ) − 2 EX^2=rp(1-p)^{-1}+r(r+1)p^2(1-p)^{-2} EX2=rp(1−p)−1+r(r+1)p2(1−p)−2
= r p ( 1 − p ) + r ( r + 1 ) p 2 ( 1 − p ) 2 =\frac{rp(1-p)+r(r+1)p^2}{(1-p)^2} =(1−p)2rp(1−p)+r(r+1)p2
= r p + r 2 p 2 ( 1 − p ) 2 =\frac{rp+r^2p^2}{(1-p)^2} =(1−p)2rp+r2p2
D X = E X 2 − ( E X ) 2 = p r ( 1 − p ) 2 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{pr}{(1-p)^2} DX=EX2−(EX)2=(1−p)2pr
若 X 服 从 泊 松 分 布 P ( λ ) , 则 P ( X = k ) = e − λ λ k k ! , k = 0 , 1 , 2...... 若X服从泊松分布P(\lambda),则P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},k=0,1,2...... 若X服从泊松分布P(λ),则P(X=k)=k!e−λλk,k=0,1,2......
M ( t ) = ∑ k = 0 ∞ e − λ λ k k ! e t k M(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}e^{tk} M(t)=k=0∑∞k!e−λλketk
= e − λ ∑ k = 0 ∞ ( λ e t ) k k ! =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infin}\frac{(\lambda e^t)^k}{k!} =e−λk=0∑∞k!(λet)k
= e − λ e λ e t =e^{-\lambda}e^{\lambda e^t} =e−λeλet
= e λ ( e t − 1 ) =e^{\lambda (e^t-1)} =eλ(et−1)
φ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ e − λ λ k k ! e i t k \varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}e^{itk} φ(t)=k=0∑∞k!e−λλkeitk
= e − λ ∑ k = 0 ∞ ( λ e i t ) k k ! =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infin}\frac{(\lambda e^{it})^k}{k!} =e−λk=0∑∞k!(λeit)k
= e − λ e λ e i t =e^{-\lambda}e^{\lambda e^{it}} =e−λeλeit
= e λ ( e i t − 1 ) =e^{\lambda (e^{it}-1)} =eλ(eit−1)
M ′ ( t ) = e λ ( e t − 1 ) λ e t M'(t)=e^{\lambda (e^t-1)}\lambda e^t M′(t)=eλ(et−1)λet
E X = M ′ ( 0 ) = λ EX=M'(0)=\lambda EX=M′(0)=λ
M ′ ′ ( t ) = e λ ( e t − 1 ) λ e t + e λ ( e t − 1 ) λ e t λ e t M''(t)=e^{\lambda (e^t-1)}\lambda e^t+e^{\lambda (e^t-1)}\lambda e^t\lambda e^t M′′(t)=eλ(et−1)λet+eλ(et−1)λetλet
E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = λ + λ 2 EX^2=M''(0)=\lambda+\lambda^2 EX2=M′′(0)=λ+λ2
D X = E X 2 − ( E X ) 2 = λ DX=EX^2-(EX)^2=\lambda DX=EX2−(EX)2=λ
若 X 服 从 连 续 型 均 匀 分 布 U ( a , b ) , 则 f ( x ) = 1 b − a I [ a , b ] ( x ) 若X服从连续型均匀分布U(a,b),则f(x)=\frac{1}{b-a}I_{[a,b]}(x) 若X服从连续型均匀分布U(a,b),则f(x)=b−a1I[a,b](x)
M ( t ) = ∫ a b 1 b − a e t x d x M(t)=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}e^{tx}dx M(t)=∫abb−a1etxdx
= 1 b − a ∫ a b e t x d x =\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}e^{tx}dx =b−a1∫abetxdx
= 1 b − a ( 1 t e t x ∣ a b ) =\frac{1}{b-a}(\frac{1}{t}e^{tx}\mid_{a}^{b}) =b−a1(t1etx∣ab)
= e t b − e t a t ( b − a ) =\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} =t(b−a)etb−eta
φ ( t ) = ∫ a b 1 b − a e i t x d x \varphi(t)=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}e^{itx}dx φ(t)=∫abb−a1eitxdx
= 1 b − a ∫ a b e i t x d x =\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}e^{itx}dx =b−a1∫abeitxdx
= 1 b − a ( 1 i t e i t x ∣ a b ) =\frac{1}{b-a}(\frac{1}{it}e^{itx}\mid_{a}^{b}) =b−a1(it1eitx∣ab)
= e i t b − e i t a i t ( b − a ) =\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} =it(b−a)eitb−eita
M ′ ( t ) = 1 b − a ( b e t b − a e t a ) t − ( e t b − e t a ) t 2 M'(t)=\frac{1}{b-a}\frac{(be^{tb}-ae^{ta})t-(e^{tb}-e^{ta})}{t^2} M′(t)=b−a1t2(betb−aeta)t−(etb−eta)
t = 0 为 M ′ ( t ) 的 可 去 间 断 点 ， 补 充 定 义 M ′ ( 0 ) = lim t → 0 M ′ ( t ) t=0为M'(t)的可去间断点，补充定义M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}M'(t) t=0为M′(t)的可去间断点，补充定义M′(0)=t→0limM′(t)
E X = M ′ ( 0 ) = lim t → 0 ( b e t b − a e t a ) + ( b 2 e t b − a 2 e t a ) t − ( b e t b − a e t a ) 2 t ( b − a ) EX=M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{(be^{tb}-ae^{ta})+(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})t-(be^{tb}-ae^{ta})}{2t(b-a)} EX=M′(0)=t→0lim2t(b−a)(betb−aeta)+(b2etb−a2eta)t−(betb−aeta)
= lim t → 0 ( b 2 e t b − a 2 e t a ) 2 ( b − a ) =\lim_{t\rightarrow0}\frac{(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})}{2(b-a)} =t→0lim2(b−a)(b2etb−a2eta)
= b 2 − a 2 2 ( b − a ) =\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} =2(b−a)b2−a2
= a + b 2 =\frac{a+b}{2} =2a+b
M ′ ′ ( t ) = 1 b − a ( ( b 2 e t b − a 2 e t a ) t + ( b e t b − a e t a ) − ( b e t b − a e t a ) ) t − 2 ( ( b e t b − a e t a ) t − ( e t b − e t a ) ) t 3 M''(t)=\frac{1}{b-a}\frac{((b^2e^{tb}-a^2e^{ta})t+(be^{tb}-ae^{ta})-(be^{tb}-ae^{ta}))t-2((be^{tb}-ae^{ta})t-(e^{tb}-e^{ta}))}{t^3} M′′(t)=b−a1t3((b2etb−a2eta)t+(betb−aeta)−(betb−aeta))t−2((betb−aeta)t−(etb−eta))
= 1 b − a t 2 ( b 2 e t b − a 2 e t a ) − 2 t ( b e t b − a e t a ) + 2 ( e t b − e t a ) t 3 =\frac{1}{b-a}\frac{t^2(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2t(be^{tb}-ae^{ta})+2(e^{tb}-e^{ta})}{t^3} =b−a1t3t2(b2etb−a2eta)−2t(betb−aeta)+2(etb−eta)
t = 0 为 M ′ ′ ( t ) 的 可 去 间 断 点 ， 补 充 定 义 M ′ ′ ( 0 ) = lim t → 0 M ′ ′ ( t ) t=0为M''(t)的可去间断点，补充定义M''(0)=\lim_{t\rightarrow0}M''(t) t=0为M′′(t)的可去间断点，补充定义M′′(0)=t→0limM′′(t)
E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = lim t → 0 1 b − a t 2 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) + 2 t ( b 2 e t b − a 2 e t a ) − 2 t ( b 2 e t b − a 2 e t a ) − 2 ( b e t b − a e t a ) + 2 ( b e t b − a e t a ) 3 t 2 EX^2=M''(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a}\frac{t^2(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})+2t(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2t(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2(be^{tb}-ae^{ta})+2(be^{tb}-ae^{ta})}{3t^2} EX2=M′′(0)=t→0limb−a13t2t2(b3etb−a3eta)+2t(b2etb−a2eta)−2t(b2etb−a2eta)−2(betb−aeta)+2(betb−aeta)
= 1 b − a lim t → 0 t 2 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) 3 t 2 =\frac{1}{b-a}\lim_{t\rightarrow0}\frac{t^2(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})}{3t^2} =b−a1t→0lim3t2t2(b3etb−a3eta)
= 1 b − a lim t → 0 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) 3 =\frac{1}{b-a}\lim_{t\rightarrow0}\frac{(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})}{3} =b−a1t→0lim3(b3etb−a3eta)
= 1 b − a ( b 3 − a 3 ) 3 =\frac{1}{b-a}\frac{(b^3-a^3)}{3} =b−a13(b3−a3)
= b 2 + a b + a 2 3 =\frac{b^2+ab+a^2}{3} =3b2+ab+a2
D X = E X 2 − ( E X ) 2 = ( b − a ) 2 12 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{(b-a)^2}{12} DX=EX2−(EX)2=12(b−a)2
若 X 服 从 指 数 分 布 E ( λ ) ， 则 f ( x ) = λ e − λ x I [ 0 , + ∞ ) ( x ) 若X服从指数分布E(\lambda)，则f(x)=\lambda e^{-\lambda x}I_{[0,+\infin)}(x) 若X服从指数分布E(λ)，则f(x)=λe−λxI[0,+∞)(x)
M ( t ) = ∫ 0 + ∞ λ e − λ x e t x d x M(t)=\int_{0}^{+\infin} \lambda e^{-\lambda x}e^{tx}dx M(t)=∫0+∞λe−λxetxdx
= λ ∫ 0 + ∞ e ( t − λ ) x d x =\lambda \int_{0}^{+\infin} e^{(t-\lambda)x}dx =λ∫0+∞e(t−λ)xdx
= λ t − λ ( e ( t − λ ) x ∣ 0 + ∞ ) =\frac{\lambda}{t-\lambda}(e^{(t-\lambda)x}\mid_{0}^{+\infin}) =t−λλ(e(t−λ)x∣0+∞)
t < λ 时 ， M ( t ) = λ t − λ ( 0 − 1 ) t<\lambda时，M(t)=\frac{\lambda}{t-\lambda}(0-1) t<λ时，M(t)=t−λλ(0−1)
= λ λ − t =\frac{\lambda}{\lambda-t} =λ−tλ
φ ( t ) = λ λ − i t \varphi(t)=\frac{\lambda}{\lambda-it} φ(t)=λ−itλ
M ′ ( t ) = λ ( λ − t ) 2 M'(t)=\frac{\lambda}{(\lambda-t)^2} M′(t)=(λ−t)2λ
E X = M ′ ( 0 ) = 1 λ EX=M'(0)=\frac{1}{\lambda} EX=M′(0)=λ1
M ′ ′ ( t ) = 2 λ ( λ − t ) 3 M''(t)=\frac{2\lambda}{(\lambda-t)^3} M′′(t)=(λ−t)32λ
E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = 2 λ 2 EX^2=M''(0)=\frac{2}{\lambda^2} EX2=M′′(0)=λ22
D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 1 λ 2 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{1}{\lambda^2} DX=EX2−(EX)2=λ21
若 X 服 从 正 态 分 布 N ( μ , σ 2 ) , 则 f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 若X服从正态分布N(\mu,\sigma^2),则f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 若X服从正态分布N(μ,σ2),则f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2
引 理 1 ： ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t = 2 π 引理1：\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi} 引理1：∫−∞+∞e−2t2dt=2π
证 明 ： ( ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t ) 2 = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 + y 2 2 d x d y 证明：(\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^2=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy 证明：(∫−∞+∞e−2t2dt)2=∫−∞+∞∫−∞+∞e−2x2+y2dxdy
= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 + ∞ e − r 2 2 r d r =\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{+\infin}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr =∫02πdθ∫0+∞e−2r2rdr
= 2 π ∫ 0 + ∞ e − r 2 2 r d r =2\pi \int_{0}^{+\infin}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr =2π∫0+∞e−2r2rdr
= 2 π ( − e − r 2 2 ∣ 0 + ∞ ) =2\pi (-e^{-\frac{r^2}{2}}\mid_{0}^{+\infin}) =2π(−e−2r2∣0+∞)
= 2 π =2\pi =2π
因 此 ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t = 2 π 因此\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi} 因此∫−∞+∞e−2t2dt=2π
M ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 e t x d x M(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}e^{tx}dx M(t)=∫−∞+∞2πσ1e−2σ2(x−μ)2etxdx
= 1 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 + t x d x =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+tx}dx =2πσ1∫−∞+∞e−2σ2(x−μ)2+txdx
令 w = x − μ σ 令w=\frac{x-\mu}{\sigma} 令w=σx−μ
原 式 = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + t ( w σ + μ ) d w 原式=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+t(w\sigma+\mu)}dw 原式=2π1∫−∞+∞e−2w2+t(wσ+μ)dw
= e μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + t σ w d w =e^{\mu t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+t\sigma w}dw =eμt2π1∫−∞+∞e−2w2+tσwdw
= e μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − t σ ) 2 − t 2 σ 2 2 d w =e^{\mu t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-t\sigma)^2-t^2\sigma^2}{2}}dw =eμt2π1∫−∞+∞e−2(w−tσ)2−t2σ2dw
= e μ t + t 2 σ 2 2 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − t σ ) 2 2 d w =e^{\mu t+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-t\sigma)^2}{2}}dw =eμt+2t2σ22π1∫−∞+∞e−2(w−tσ)2dw
= e μ t + t 2 σ 2 2 1 2 π 2 π =e^{\mu t+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi} =eμt+2t2σ22π12π
= e μ t + t 2 σ 2 2 =e^{\mu t+\frac{t^2\sigma^2}{2}} =eμt+2t2σ2
φ ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 e i t x d x \varphi(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}e^{itx}dx φ(t)=∫−∞+∞2πσ1e−2σ2(x−μ)2eitxdx
= 1 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 + i t x d x =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+itx}dx =2πσ1∫−∞+∞e−2σ2(x−μ)2+itxdx
令 w = x − μ σ 令w=\frac{x-\mu}{\sigma} 令w=σx−μ
原 式 = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + i t ( w σ + μ ) d w 原式=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+it(w\sigma+\mu)}dw 原式=2π1∫−∞+∞e−2w2+it(wσ+μ)dw
= e i μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + i t σ w d w =e^{i\mu t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+it\sigma w}dw =eiμt2π1∫−∞+∞e−2w2+itσwdw
= e i μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − i t σ ) 2 + t 2 σ 2 2 d w =e^{i\mu t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-it\sigma)^2+t^2\sigma^2}{2}}dw =eiμt2π1∫−∞+∞e−2(w−itσ)2+t2σ2dw
= e i μ t − t 2 σ 2 2 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − i t σ ) 2 2 d w =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-it\sigma)^2}{2}}dw =eiμt−2t2σ22π1∫−∞+∞e−2(w−itσ)2dw
= e i μ t − t 2 σ 2 2 1 2 π 2 π =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi} =eiμt−2t2σ22π12π
= e i μ t − t 2 σ 2 2 =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}} =eiμt−2t2σ2
M ′ ( t ) = e μ t + t 2 σ 2 2 ( μ + σ 2 t ) M'(t)=e^{\mu t+\frac{t^2\sigma^2}{2}}(\mu+\sigma^2t) M′(t)=eμt+2t2σ2(μ+σ2t)
E X = M ′ ( 0 ) = μ EX=M'(0)=\mu EX=M′(0)=μ
M ′ ′ ( t ) = e μ t + t 2 σ 2 2 ( μ + σ 2 t ) 2 + e μ t + t 2 σ 2 2 σ 2 M''(t)=e^{\mu t+\frac{t^2\sigma^2}{2}}(\mu+\sigma^2t)^2+e^{\mu t+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\sigma^2 M′′(t)=eμt+2t2σ2(μ+σ2t)2+eμt+2t2σ2σ2
E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = μ 2 + σ 2 EX^2=M''(0)=\mu^2+\sigma^2 EX2=M′′(0)=μ2+σ2
D X = E X 2 − ( E X ) 2 = σ 2 DX=EX^2-(EX)^2=\sigma^2 DX=EX2−(EX)2=σ2
特 别 地 , X 服 从 标 准 正 态 分 布 N ( 0 , 1 ) 时 特别地,X服从标准正态分布N(0,1)时 特别地,X服从标准正态分布N(0,1)时
M ( t ) = e t 2 2 M(t)=e^{\frac{t^2}{2}} M(t)=e2t2
φ ( t ) = e − t 2 2 \varphi(t)=e^{-\frac{t^2}{2}} φ(t)=e−2t2
E X = 0 , D X = 1 EX=0,DX=1 EX=0,DX=1
若 X 服 从 伽 马 分 布 Γ ( α , β ) ( α , β > 0 ) , 则 f ( x ) = β α Γ ( α ) x α − 1 e − β x I ( 0 , + ∞ ) ( x ) 若X服从伽马分布\Gamma(\alpha,\beta)(\alpha,\beta>0),则f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}I_{(0,+\infin)}(x) 若X服从伽马分布Γ(α,β)(α,β>0),则f(x)=Γ(α)βαxα−1e−βxI(0,+∞)(x)
其 中 ， Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ t α − 1 e − t d t , α > 0 其中，\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infin}t^{\alpha-1}e^{-t}dt,\alpha>0 其中，Γ(α)=∫0+∞tα−1e−tdt,α>0
指 数 分 布 E ( λ ) 是 伽 马 分 布 Γ ( 1 , λ ) , χ 2 分 布 χ n 2 是 伽 马 分 布 Γ ( n 2 , 1 2 ) 指数分布E(\lambda)是伽马分布\Gamma(1,\lambda),\chi^2分布\chi^2_n是伽马分布\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2}) 指数分布E(λ)是伽马分布Γ(1,λ),χ2分布χn2是伽马分布Γ(2n,21)
M ( t ) = ∫ 0 + ∞ β α Γ ( α ) x α − 1 e − β x e t x d x M(t)=\int_{0}^{+\infin}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}e^{tx}dx M(t)=∫0+∞Γ(α)βαxα−1e−βxetxdx
= ∫ 0 + ∞ β α Γ ( α ) x α − 1 e ( t − β ) x d x =\int_{0}^{+\infin}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{(t-\beta) x}dx =∫0+∞Γ(α)βαxα−1e(t−β)xdx
= β α ∫ 0 + ∞ 1 Γ ( α ) x α − 1 e ( t − β ) x d x =\beta^\alpha\int_{0}^{+\infin}\frac{1}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{(t-\beta) x}dx =βα∫0+∞Γ(α)1xα−1e(t−β)xdx
t < β 时 ， 令 v = ( β − t ) x ， 原 式 = β α β − t ∫ 0 + ∞ 1 Γ ( α ) ( v β − t ) α − 1 e − v d v t<\beta时，令v=(\beta-t)x，原式=\frac{\beta^\alpha}{\beta-t}\int_{0}^{+\infin}\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(\frac{v}{\beta-t})^{\alpha-1}e^{-v}dv t<β时，令v=(β−t)x，原式=β−tβα∫0+∞Γ(α)1(β−tv)α−1e−vdv
= ( β β − t ) α 1 Γ ( α ) ∫ 0 + ∞ v α − 1 e − v d v =(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{+\infin}v^{\alpha-1}e^{-v}dv =(β−tβ)αΓ(α)1∫0+∞vα−1e−vdv
= ( β β − t ) α 1 Γ ( α ) Γ ( α ) =(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha) =(β−tβ)αΓ(α)1Γ(α)
= ( β β − t ) α =(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha =(β−tβ)α
φ ( t ) = ( β β − i t ) α \varphi(t)=(\frac{\beta}{\beta-it})^\alpha φ(t)=(β−itβ)α
M ′ ( t ) = β α ( β − t ) − α − 1 α M'(t)=\beta^\alpha(\beta-t)^{-\alpha-1}\alpha M′(t)=βα(β−t)−α−1α
E X = M ′ ( 0 ) = α β EX=M'(0)=\frac{\alpha}{\beta} EX=M′(0)=βα
M ′ ′ ( t ) = β α ( β − t ) − α − 2 α ( α + 1 ) M''(t)=\beta^\alpha(\beta-t)^{-\alpha-2}\alpha(\alpha+1) M′′(t)=βα(β−t)−α−2α(α+1)
E X 2 = α ( α + 1 ) β 2 EX^2=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\beta^2} EX2=β2α(α+1)
D X = E X 2 − ( E X ) 2 = α β 2 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{\alpha}{\beta^2} DX=EX2−(EX)2=β2α
若 X 服 从 贝 塔 分 布 B e ( α , β ) ( α , β > 0 ) ， 则 f ( x ) = x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 ∫ 0 1 u α − 1 ( 1 − u ) β − 1 d u I ( 0 , 1 ) ( x ) 若X服从贝塔分布\Beta e(\alpha,\beta)(\alpha,\beta>0)，则f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_{0}^{1} u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du}I_{(0,1)}(x) 若X服从贝塔分布Be(α,β)(α,β>0)，则f(x)=∫01uα−1(1−u)β−1duxα−1(1−x)β−1I(0,1)(x)
= Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 I ( 0 , 1 ) ( x ) = 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 I ( 0 , 1 ) ( x ) =\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}I_{(0,1)}(x)=\frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}I_{(0,1)}(x) =Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)xα−1(1−x)β−1I(0,1)(x)=B(α,β)1xα−1(1−x)β−1I(0,1)(x)
其 中 , B ( α , β ) = ∫ 0 1 u α − 1 ( 1 − u ) β − 1 d u , ( α , β > 0 ) 其中,\Beta(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1} u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du,(\alpha,\beta>0) 其中,B(α,β)=∫01uα−1(1−u)β−1du,(α,β>0)
M ( t ) = ∫ 0 1 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 e t x d x M(t)=\int_{0}^{1}\frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}e^{tx}dx M(t)=∫01B(α,β)1xα−1(1−x)β−1etxdx
= ∫ 0 1 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 ∑ k = 0 ∞ ( t x ) k k ! d x =\int_{0}^{1}\frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\sum_{k=0}^{\infin}\dfrac{(tx)^k}{k!}dx =∫01B(α,β)1xα−1(1−x)β−1k=0∑∞k!(tx)kdx
= ∑ k = 0 ∞ ∫ 0 1 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 ( t x ) k k ! d x =\sum_{k=0}^{\infin}\int_{0}^{1}\frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\dfrac{(tx)^k}{k!}dx =k=0∑∞∫01B(α,β)1xα−1(1−x)β−1k!(tx)kdx
= ∑ k = 0 ∞ ∫ 0 1 1 B ( α , β ) x α + k − 1 ( 1 − x ) β − 1 t k k ! d x =\sum_{k=0}^{\infin}\int_{0}^{1}\frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta-1}\dfrac{t^k}{k!}dx =k=0∑∞∫01B(α,β)1xα+k−1(1−x)β−1k!tkdx
= ∑ k = 0 ∞ ∫ 0 1 x α + k − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α , β ) t k k ! d x =\sum_{k=0}^{\infin}\int_{0}^{1}\frac{x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}\dfrac{t^k}{k!}dx =k=0∑∞∫01B(α,β)xα+k−1(1−x)β−1k!tkdx
= ∑ k = 0 ∞ ∫ 0 1 x α + k − 1 ( 1 − x ) β − 1 d x B ( α , β ) t k k ! =\sum_{k=0}^{\infin}\frac{\int_{0}^{1}x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta-1}dx} {\Beta(\alpha,\beta)}\dfrac{t^k}{k!} =k=0∑∞B(α,β)∫01xα+k−1(1−x)β−1dxk!tk
= ∑ k = 0 ∞ B ( α + k , β ) B ( α , β ) t k k ! =\sum_{k=0}^{\infin}\frac{\Beta(\alpha +k,\beta)} {\Beta(\alpha,\beta)}\dfrac{t^k}{k!} =k=0∑∞B(α,β)B(α+k,β)k!tk
= ∑ k = 0 ∞ Γ ( α + k ) Γ ( β ) Γ ( α + β + k ) Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) t k k ! =\sum_{k=0}^{\infin}\frac{\frac{\Gamma(\alpha +k)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+k)}} {\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}}\dfrac{t^k}{k!} =k=0∑∞Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)Γ(α+β+k)Γ(α+k)Γ(β)k!tk
= 1 + ∑ k = 1 ∞ ( ∏ r = 0 k − 1 α + r α + β + r ) t k k ! =1+\sum_{k=1}^{\infin}(\prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r})\frac{t^k}{k!} =1+k=1∑∞(r=0∏k−1α+β+rα+r)k!tk
E ( X ) = ∫ 0 1 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 x d x E(X)=\int_{0}^{1}\frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}xdx E(X)=∫01B(α,β)1xα−1(1−x)β−1xdx
= ∫ 0 1 1 B ( α , β ) x α ( 1 − x ) β − 1 d x =\int_{0}^{1}\frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha}(1-x)^{\beta-1}dx =∫01B(α,β)1xα(1−x)β−1dx
= ∫ 0 1 x α ( 1 − x ) β − 1 d x B ( α , β ) =\frac{\int_{0}^{1}x^{\alpha}(1-x)^{\beta-1}dx}{\Beta(\alpha,\beta)} =B(α,β)∫01xα(1−x)β−1dx
= B ( α + 1 , β ) B ( α , β ) =\frac{\Beta(\alpha+1,\beta)}{\Beta(\alpha,\beta)} =B(α,β)B(α+1,β)
= Γ ( α + 1 ) Γ ( β ) Γ ( α + β + 1 ) Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) =\frac{\frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+1)}}{\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}} =Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)Γ(α+β+1)Γ(α+1)Γ(β)
= α α + β =\frac{\alpha}{\alpha+\beta} =α+βα
E ( X 2 ) = ∫ 0 1 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 x 2 d x E(X^2)=\int_{0}^{1}\frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}x^2dx E(X2)=∫01B(α,β)1xα−1(1−x)β−1x2dx
= ∫ 0 1 x α + 1 ( 1 − x ) β − 1 d x B ( α , β ) =\frac{\int_{0}^{1}x^{\alpha+1}(1-x)^{\beta-1}dx}{\Beta(\alpha,\beta)} =B(α,β)∫01xα+1(1−x)β−1dx
= B ( α + 2 , β ) B ( α , β ) =\frac{\Beta(\alpha+2,\beta)}{\Beta(\alpha,\beta)} =B(α,β)B(α+2,β)
= Γ ( α + 2 ) Γ ( β ) Γ ( α + β + 2 ) Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) =\frac{\frac{\Gamma(\alpha+2)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+2)}}{\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}} =Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)Γ(α+β+2)Γ(α+2)Γ(β)
= α ( α + 1 ) ( α + β + 1 ) ( α + β ) =\frac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)} =(α+β+1)(α+β)α(α+1)
D ( X ) = E ( X 2 ) − ( E X ) 2 D(X)=E(X^2)-(EX)^2 D(X)=E(X2)−(EX)2
= α ( α + 1 ) ( α + β + 1 ) ( α + β ) − α 2 ( α + β ) 2 =\frac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)}-\frac{\alpha^2}{(\alpha+\beta)^2} =(α+β+1)(α+β)α(α+1)−(α+β)2α2
= α β ( α + β + 1 ) ( α + β ) 2 =\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)^2} =(α+β+1)(α+β)2αβ
若 X 服 从 自 由 度 为 n 的 t 分 布 t ( x , n ) ， 则 f ( x ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 , x ∈ R 若X服从自由度为n的t分布t(x,n)，则f(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}},x∈R 若X服从自由度为n的t分布t(x,n)，则f(x)=nπΓ(2n)Γ(2n+1)(1+nx2)−2n+1,x∈R
文章浏览阅读3.8k次。1、将下载好的萤石js插件，添加到SoringBoot项目中。位置可参考下图所示。（容易出错的地方，在将js插件在html页面引入时，发生路径错误的问题）所以如果对页面中引入js的路径不清楚，可参考下图所示存放路径。2、将ezuikit.js引入到demo-live.html中。（可直接将如下代码复制到你创建的html页面中）<!DOCTYPE html><html lan..._ezuikit 测试的url
文章浏览阅读322次。第二步，在弹出的对话框选择，设备驱动—>PLC—>莫迪康—>ModbusRTU—>COM,根据配置软件选择的协议选期期，这里以此为例，然后点击“下一步”。第四步，把使用虚拟串口打勾(GPRS设备)，根据需要选择要生成虚拟口，这里以选择KVCOM1为例，然后点击“下一步”设备ID即Modbus地址(1-255) 使用DTU时，为下485接口上的设备地址。第六步，Modbus的从机地址，与配置软件相同，这里以1为例，点击“下一步“第五步，Modbus的从机地址，与配置软件相同，这里以1为例，点击“下一步“_组态王ua
文章浏览阅读9.4k次，点赞22次，收藏19次。安装npm相当于安装node.js,Node.js已自带npm，安装Node.js时会一起安装，npm的作用就是对Node.js依赖的包进行管理，也可以理解为用来安装/卸载Node.js需要装的东西_npm安装配置
文章浏览阅读748次，点赞21次，收藏26次。大家好，小编来为大家解答以下问题，python基础训练100题，python入门100例题，现在让我们一起来看看吧！宝子们还在新手村练级的时候，不单要吸入基础知识，夯实自己的理论基础，还要去实际操作练练手啊！由于文章篇幅限制，不可能将100道题全部呈现在此除了这些，下面还有我整理好的基础入门学习资料，视频和讲解文案都很齐全，用来入门绝对靠谱，需要的自提。保证100%免费这不，贴心的我爆肝给大家整理了这份今天给大家分享100道Python练习题。大家一定要给我三连啊~
文章浏览阅读1k次。 为了在 Linux （ Ubuntu） 上安装sublime，一般大家都会选择常见的教程或是 sublime 官网教程，然而在国内这种方法可能失效。为此，需要用安装包安装。以下就是使用官网安装包安装的教程。打开 sublime 官网后，点击右上角 download， 或是直接访问点击打开链接，即可看到各个平台上的安装包。选择 Linux 64 位版并下载。下载后，打开终端，进入安装..._ubuntu 安装sumlime text打不开
文章浏览阅读563次，点赞13次，收藏6次。CrossOver24是一款类虚拟机软件，专为macOS和Linux用户设计。它的核心技术是Wine，这是一种在Linux和macOS等非Windows操作系统上运行Windows应用程序的开源软件。通过CrossOver24，用户可以在不购买Windows授权或使用传统虚拟机的情况下，直接在Mac或Linux系统上运行Windows软件和游戏。该软件还提供了丰富的功能，如自动配置、无缝集成和实时传输等，以实现高效的跨平台操作体验。
文章浏览阅读1.7k次。一个用聊天的方式让ChatGPT帮我写的线程安全的环形List_为什么gpt一写list就卡
文章浏览阅读336次。我们在前面的文章里曾写过Web应用中乱码产生的原因和处理方式，旧文回顾：深度揭秘乱码问题背后的原因及解决方式其中我们提到可以通过Filter的方式来设置请求和响应的encoding，来解..._filterconfig selectencoding
文章浏览阅读651次。转自：http://www.jb51.net/article/36480.htmencodeURI和decodeURI是成对来使用的，因为浏览器的地址栏有中文字符的话，可以会出现不可预期的错误，所以可以encodeURI把非英文字符转化为英文编码，decodeURI可以用来把字符还原回来_js encodeur decodeurl
文章浏览阅读1.9w次，点赞6次，收藏3次。前言在日常的Android开发当中，我们肯定要打包apk。但是今天我打包的时候遇到一个很奇怪的问题Android The destination folder does not exist or is not writeable，大意是目标文件夹不存在或不可写。出现问题的原因以及解决办法上面有说报错的中文大意是：目标文件夹不存在或不可写。其实问题就在我们的打包界面当中图中标红的Desti..._the destination folder does not exist or is not writeable
文章浏览阅读94次。一、配置代码编辑区的样式 <1>打开Eclipse，Help —> Install NewSoftware，界面如下： <2>点击add...，按下图所示操作： name：随意填写，Location：http://eclipse-color-th..._ecplise高大上设置
文章浏览阅读2.8k次。一，下载mysql:http://dev.mysql.com/downloads/mysql/； 打开页面之后，在Select Platform:下选择linux Generic，如果没有出现Linux的选项，请换一个浏览器试试。我用的谷歌版本不可以，换一个别的浏览器就行了，如果还是不行，需要换一个翻墙的浏览器。 二，下载完后解压缩并放到安装文件夹下： 1、MySQL-client-5.6.2_linux mysql 安装 mysql-5.6.24-1.linux_glibc2.5.x86_64.rpm-bundle