技术标签: 其他
最大连续子数列和一道很经典的算法问题,给定一个数列,其中可能有正数也可能有负数,我们的任务是找出其中连续的一个子数列(不允许空序列),使它们的和尽可能大。我们一起用多种方式,逐步优化解决这个问题。
为了更清晰的理解问题,首先我们先看一组数据:8
-2 6 -1 5 4 -7 2 3
第一行的8是说序列的长度是8,然后第二行有8个数字,即待计算的序列。
对于这个序列,我们的答案应该是14
,所选的数列是从第2个数到第5个数,这4个数的和是所有子数列中最大的。
暴力求解也是容易理解的做法,简单来说,我们只要用两层循环枚举起点和终点,这样就尝试了所有的子序列,然后计算每个子序列的和,然后找到其中最大的即可,C语言代码如下:
#include <stdio.h>
//N是数组长度,num是待计算的数组,放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[1024];
int main()
{
//输入数据
scanf("%d", &N);
for(int i = 1; i <= N; i++)
scanf("%d", &num[i]);
int ans = num[1]; //ans保存最大子序列和,初始化为num[1]能保证最终结果正确
//i和j分别是枚举的子序列的起点和终点,k所在循环计算每个子序列的和
for(int i = 1; i <= N; i++) {
for(int j = i; j <= N; j++) {
int s = 0;
for(int k = i; k <= j; k++) {
s += num[k];
}
if(s > ans) ans = s;
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
这个算法的时间复杂度是O(N^3),复杂度的计算方法可参考《算法导论》第一章,如果我们的计算机可以每秒计算一亿次的话,这个算法在一秒内只能计算出500左右长度序列的答案。
如果你读懂了刚才的程序,我们可以来看一个简单的优化。
如果我们有这样一个数组sum,sum[i]
表示第1个到第i个数的和。那么我们如何快速计算第i个到第j个这个序列的和?对,只要用sum[j] - sum[i-1]
就可以了!这样的话,我们就可以省掉最内层的循环,让我们的程序效率更高!C语言代码如下:
#include <stdio.h>
//N是数组长度,num是待计算的数组,sum是数组前缀和,放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[16384], sum[16384];
int main()
{
//输入数据
scanf("%d", &N);
for(int i = 1; i <= N; i++)
scanf("%d", &num[i]);
//计算数组前缀和
sum[0] = 0;
for(int i = 1; i <= N; i++) {
sum[i] = num[i] + sum[i - 1];
}
int ans = num[1]; //ans保存最大子序列和,初始化为num[1]能保证最终结果正确
//i和j分别是枚举的子序列的起点和终点
for(int i = 1; i <= N; i++) {
for(int j = i; j <= N; j++) {
int s = sum[j] - sum[i - 1];
if(s > ans) ans = s;
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
这个算法的时间复杂度是O(N^2)。如果我们的计算机可以每秒计算一亿次的话,这个算法在一秒内能计算出10000左右长度序列的答案,比之前的程序已经有了很大的提升!此外,我们在这个程序中创建了一个sum数组,事实上,这也是不必要的,我们我就也可以把数组前缀和直接计算在num数组中,这样可以节约一些内存。
你应该听说过分治法,正是:分而治之。我们有一个很复杂的大问题,很难直接解决它,但是我们发现可以把问题划分成子问题,如果子问题规模还是太大,并且它还可以继续划分,那就继续划分下去。直到这些子问题的规模已经很容易解决了,那么就把所有的子问题都解决,最后把所有的子问题合并,我们就得到复杂大问题的答案了。可能说起来简单,但是仍不知道怎么做,接下来分析这个问题:
首先,我们可以把整个序列平均分成左右两部分,答案则会在以下三种情况中:
1、所求序列完全包含在左半部分的序列中。
2、所求序列完全包含在右半部分的序列中。
3、所求序列刚好横跨分割点,即左右序列各占一部分。
前两种情况和大问题一样,只是规模小了些,如果三个子问题都能解决,那么答案就是三个结果的最大值。我们主要研究一下第三种情况如何解决:
我们只要计算出:以分割点为起点向左的最大连续序列和、以分割点为起点向右的最大连续序列和,这两个结果的和就是第三种情况的答案。因为已知起点,所以这两个结果都能在O(N)的时间复杂度能算出来。
递归不断减小问题的规模,直到序列长度为1的时候,那答案就是序列中那个数字。
综上所述,C语言代码如下,递归实现:
#include <stdio.h>
//N是数组长度,num是待计算的数组,放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[16777216];
int solve(int left, int right)
{
//序列长度为1时
if(left == right)
return num[left];
//划分为两个规模更小的问题
int mid = left + right >> 1;
int lans = solve(left, mid);
int rans = solve(mid + 1, right);
//横跨分割点的情况
int sum = 0, lmax = num[mid], rmax = num[mid + 1];
for(int i = mid; i >= left; i--) {
sum += num[i];
if(sum > lmax) lmax = sum;
}
sum = 0;
for(int i = mid + 1; i <= right; i++) {
sum += num[i];
if(sum > rmax) rmax = sum;
}
//答案是三种情况的最大值
int ans = lmax + rmax;
if(lans > ans) ans = lans;
if(rans > ans) ans = rans;
return ans;
}
int main()
{
//输入数据
scanf("%d", &N);
for(int i = 1; i <= N; i++)
scanf("%d", &num[i]);
printf("%d\n", solve(1, N));
return 0;
}
不难看出,这个算法的时间复杂度是O(N*logN)的(想想归并排序)。它可以在一秒内处理百万级别的数据,甚至千万级别也不会显得很慢!这正是算法的优美之处。对递归不太熟悉的话可能会对这个算法有所疑惑,那可就要仔细琢磨一下了。
很多动态规划算法非常像数学中的递推。我们如果能找到一个合适的递推公式,就能很容易的解决问题。
我们用dp[n]表示以第n个数结尾的最大连续子序列的和,于是存在以下递推公式:dp[n] = max(0, dp[n-1]) + num[n]
仔细思考后不难发现这个递推公式是正确的,则整个问题的答案是max(dp[m]) | m∈[1, N]
。C语言代码如下:
#include <stdio.h>
//N是数组长度,num是待计算的数组,放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[134217728];
int main()
{
//输入数据
scanf("%d", &N);
for(int i = 1; i <= N; i++)
scanf("%d", &num[i]);
num[0] = 0;
int ans = num[1];
for(int i = 1; i <= N; i++) {
if(num[i - 1] > 0) num[i] += num[i - 1];
else num[i] += 0;
if(num[i] > ans) ans = num[i];
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
这里我们没有创建dp数组,根据递归公式的依赖关系,单独一个num数组就足以解决问题,创建一个一亿长度的数组要占用几百MB的内存!这个算法的时间复杂度是O(N)的,所以它计算一亿长度的序列也不在话下!不过你如果真的用一个这么大规模的数据来测试这个程序会很慢,因为大量的时间都耗费在程序读取数据上了!
考虑我们之前O(N^2)的算法,即一个简单的优化一节,我们还有没有办法优化这个算法呢?答案是肯定的!
我们已知一个sum数组,sum[i]
表示第1个数到第i个数的和,于是sum[j] - sum[i-1]
表示第i个数到第j个数的和。
那么,以第n个数为结尾的最大子序列和有什么特点?假设这个子序列的起点是m,于是结果为sum[n] - sum[m-1]
。并且,sum[m]
必然是sum[1],sum[2]...sum[n-1]
中的最小值!这样,我们如果在维护计算sum数组的时候,同时维护之前的最小值, 那么答案也就出来了!为了节省内存,我们还是只用一个num数组。C语言代码如下:
#include <stdio.h>
//N是数组长度,num是待计算的数组,放在全局区是因为可以开很大的数组
int N, num[134217728];
int main()
{
//输入数据
scanf("%d", &N);
for(int i = 1; i <= N; i++)
scanf("%d", &num[i]);
//计算数组前缀和,并在此过程中得到答案
num[0] = 0;
int ans = num[1], lmin = 0;
for(int i = 1; i <= N; i++) {
num[i] += num[i - 1];
if(num[i] - lmin > ans)
ans = num[i] - lmin;
if(num[i] < lmin)
lmin = num[i];
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
看起来我们已经把最大连续子序列和的问题解决得很完美了,时间复杂度和空间复杂度都是O(N),不过,我们确实还可以继续!
很显然,解决此问题的算法的时间复杂度不可能低于O(N),因为我们至少要算出整个序列的和,不过如果空间复杂度也达到了O(N),就有点说不过去了,让我们把num数组也去掉吧!
#include <stdio.h>
int main()
{
int N, n, s, ans, m = 0;
scanf("%d%d", &N, &n); //读取数组长度和序列中的第一个数
ans = s = n; //把ans初始化为序列中的的第一个数
for(int i = 1; i < N; i++) {
if(s < m) m = s;
scanf("%d", &n);
s += n;
if(s - m > ans)
ans = s - m;
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
这个程序的原理和另辟蹊径,又一个O(N)的算法中介绍的一样,在计算前缀和的过程中维护之前得到的最小值。它的时间复杂度是O(N),空间复杂度是O(1),这达到了理论下限!唯一比较麻烦的是ans的初始化值,不能直接初始化为0,因为数列可能全为负数!
至此,最大连续子序列和的问题已经被我们完美解决!然而以上介绍的算法都只是直接求出问题的结果,而不能求出具体是哪一个子序列,其实搞定这个问题并不复杂,具体怎么做留待读者思考吧!
文章浏览阅读1.6k次。安装配置gi、安装数据库软件、dbca建库见下:http://blog.csdn.net/kadwf123/article/details/784299611、检查集群节点及状态:[root@rac2 ~]# olsnodes -srac1 Activerac2 Activerac3 Activerac4 Active[root@rac2 ~]_12c查看crs状态
文章浏览阅读1.3w次,点赞45次,收藏99次。我个人用的是anaconda3的一个python集成环境,自带jupyter notebook,但在我打开jupyter notebook界面后,却找不到对应的虚拟环境,原来是jupyter notebook只是通用于下载anaconda时自带的环境,其他环境要想使用必须手动下载一些库:1.首先进入到自己创建的虚拟环境(pytorch是虚拟环境的名字)activate pytorch2.在该环境下下载这个库conda install ipykernelconda install nb__jupyter没有pytorch环境
文章浏览阅读5.2k次,点赞19次,收藏28次。选择scoop纯属意外,也是无奈,因为电脑用户被锁了管理员权限,所有exe安装程序都无法安装,只可以用绿色软件,最后被我发现scoop,省去了到处下载XXX绿色版的烦恼,当然scoop里需要管理员权限的软件也跟我无缘了(譬如everything)。推荐添加dorado这个bucket镜像,里面很多中文软件,但是部分国外的软件下载地址在github,可能无法下载。以上两个是官方bucket的国内镜像,所有软件建议优先从这里下载。上面可以看到很多bucket以及软件数。如果官网登陆不了可以试一下以下方式。_scoop-cn
文章浏览阅读4.5k次,点赞2次,收藏3次。首先要有一个color-picker组件 <el-color-picker v-model="headcolor"></el-color-picker>在data里面data() { return {headcolor: ’ #278add ’ //这里可以选择一个默认的颜色} }然后在你想要改变颜色的地方用v-bind绑定就好了,例如:这里的:sty..._vue el-color-picker
文章浏览阅读640次。基于芯片日益增长的问题,所以内核开发者们引入了新的方法,就是在内核中只保留函数,而数据则不包含,由用户(应用程序员)自己把数据按照规定的格式编写,并放在约定的地方,为了不占用过多的内存,还要求数据以根精简的方式编写。boot启动时,传参给内核,告诉内核设备树文件和kernel的位置,内核启动时根据地址去找到设备树文件,再利用专用的编译器去反编译dtb文件,将dtb还原成数据结构,以供驱动的函数去调用。firmware是三星的一个固件的设备信息,因为找不到固件,所以内核启动不成功。_exynos 4412 刷机
文章浏览阅读2w次,点赞24次,收藏42次。Linux系统配置jdkLinux学习教程,Linux入门教程(超详细)_linux配置jdk
文章浏览阅读3.3k次,点赞5次,收藏19次。xlabel('\delta');ylabel('AUC');具体符号的对照表参照下图:_matlab微米怎么输入
文章浏览阅读119次。顺序读写指的是按照文件中数据的顺序进行读取或写入。对于文本文件,可以使用fgets、fputs、fscanf、fprintf等函数进行顺序读写。在C语言中,对文件的操作通常涉及文件的打开、读写以及关闭。文件的打开使用fopen函数,而关闭则使用fclose函数。在C语言中,可以使用fread和fwrite函数进行二进制读写。 Biaoge 于2024-03-09 23:51发布 阅读量:7 ️文章类型:【 C语言程序设计 】在C语言中,用于打开文件的函数是____,用于关闭文件的函数是____。
文章浏览阅读3.4k次,点赞2次,收藏13次。跟随鼠标移动的粒子以grid(SOP)为partical(SOP)的资源模板,调整后连接【Geo组合+point spirit(MAT)】,在连接【feedback组合】适当调整。影响粒子动态的节点【metaball(SOP)+force(SOP)】添加mouse in(CHOP)鼠标位置到metaball的坐标,实现鼠标影响。..._touchdesigner怎么让一个模型跟着鼠标移动
文章浏览阅读178次。项目运行环境配置:Jdk1.8 + Tomcat7.0 + Mysql + HBuilderX(Webstorm也行)+ Eclispe(IntelliJ IDEA,Eclispe,MyEclispe,Sts都支持)。项目技术:Springboot + mybatis + Maven +mysql5.7或8.0+html+css+js等等组成,B/S模式 + Maven管理等等。环境需要1.运行环境:最好是java jdk 1.8,我们在这个平台上运行的。其他版本理论上也可以。_基于java技术的停车场管理系统实现与设计
文章浏览阅读3.5k次。前言对于MediaPlayer播放器的源码分析内容相对来说比较多,会从Java-&amp;gt;Jni-&amp;gt;C/C++慢慢分析,后面会慢慢更新。另外,博客只作为自己学习记录的一种方式,对于其他的不过多的评论。MediaPlayerDemopublic class MainActivity extends AppCompatActivity implements SurfaceHolder.Cal..._android多媒体播放源码分析 时序图
文章浏览阅读2.4k次,点赞41次,收藏13次。java 数据结构与算法 ——快速排序法_快速排序法