Cross tabulation
交叉列表的统计分析（Statistics in Crosstabulation Tables）
●最大似然四格表（Maximum-Likelihood (M-L) Chi-square ）
●Fisher 确切检验（Fisher exact test ）
●McNemar 四格表（McNemar Chi-square ）
●Tetrachoric 相关（Tetrachoric correlation ）
●Coefficient of contingency (C) 一致性系数
●一致性测量的解释（Interpretation of contingency measures ）
●等级资料的统计方法（Statistics Based on Ranks ）
●非确定性相关系数Uncertainty Coefficients: S(X,Y), S(X|Y), S(Y|X)
基本介绍。交叉列表可以用来寻求列表变量之间的关系。下表显示了年龄（Age）与所喜爱的馅饼（Cookie）之间的强关联。
|
馅饼： A |
馅饼: B |
合计 |
年纪:成年人 |
50 |
0 |
50 |
年纪:儿童 |
0 |
50 |
50 |
合计 |
50 |
50 |
100 |
所有的成人都选择了A馅饼，而所有的小孩选择了B馅饼。这时没有人会怀疑结果的可信性，因为单凭偶然性即成人与小孩不存在馅饼喜好的差异而得到这种数据是不太可能的。但在现实生活中，变量间的关联是较弱的，如何测量关联的大小，如何估计可信性（统计学显著性）的问题也就产生了。下面将介绍一些估计两分类变量间关联最常用的测量方法；即两因素表的测量方法。同时分析超过两变量的交叉列表的问题在Log-Linear Analysis模型和相关分析一节中讨论。 
Pearson Chi-square。 Pearson四格表是检验分类变量间关联统计学意义最常用的方法。这种方法的依据是：我们可以计算两因素表格中的理论频数（如果两变量不存在关联时的理论值）。例如，假设我们询问20名男性以及20名女性所选择的soda品牌类型（A品牌与B品牌）。如果不存在关联，两种性别选择A与B品牌的人数应近似相等。如果实际数偏离这个理论值越远，四格表检验越有意义；即男女性选择的类型差异越大。
卡方值的大小与显著性水平高低与观察样本大小和表中格子数有关。与基本概念中的原则一致，大样本中，格子中的频数与理论数相比较小差异也可证明具有显著性。
使用四格表检验的理论假设是理论数不太小，原因在于四格表检验检验的是每一格的潜在概率，当理论频数小于5，就无法准确地估计其概率。Everitt (1977), Hays (1988), 或 Kendall and Stuart (1979)，对此作了进一步的介绍。
Maximum-Likelihood Chi-square 。最大似然比四格表检验检验的假设与Pearson四格表检验一样；但他是在最大似然理论的基础上的计算而得的。实际中M-L Chi-square 数值上与Pearson Chi- square 十分接近.详细请参考Bishop, Fienberg, and Holland (1975), 或 Fienberg, S. E. (1977); 对数线性分析（Log-Linear Analysis）一章也详细讨论了这种统计方法。
Yates 校正 。小样本的2*2表的四格表近似统计值可通过将理论值减去观察值的绝对值减去0.5再平方得到改进(Yates' 校正)。这种改进使估计更保守，通常用于表中含有较小的实际数，以至某些理论频数小于10 的情况。(详细论述参见 Conover, 1974; Everitt, 1977; Hays, 1988; Kendall & Stuart, 1979; and Mantel, 1974).
Fisher Exact Test 。这种检验只有在2*2表中使用；是基于下列的理论而产生的：当格边频数不变时，设想总体中两因素是无关联的，得到或低于表中格子频数的概率是多少?当n很小时,这种概率可通过计算格边频数不变情况下所有可能构成的表的数目而被准确计算出。因此，Fisher确切检验是在无效假设为格子中频数为当前分布或分布更不平衡时计算得到的确切概率。
McNemar 四格表. 这种检验方法适用于非独立样本的2*2表. 例如，在一个前后调查设计中，我们可以知道学年初与学年末数学测试不及格人数。得到两个四格表检验值：A/D 与 B/C。四格表A/D 检验的是A格与D格频数是否一致。四格表B/C 检验的是B格与C格中频数是否一致。
Phi 系数。 Phi-square 是2×2表中测量两分类变量关联的方法。其值在0-1之间，有关此统计量的详细论述参见Castellan and Siegel (1988, p. 232).
Tetrachoric相关系数。这个统计量也只适用于2×2表，如果2×2表表示的是两个连续性变量各自被强行分为两类的结果时， tetrachoric 相关系数就可以估计两变量之间的关联。
一致性系数。一致性系数是在四格表检验基础上测量两分类变量关联的方法（ Pearson卡方检验的发明者，建议使用），其易解释的特点优于普通四格表检验，因为他的值在0和1之间 （0意味着两者完全独立），其缺点在于值的上限由表格的大小所限定；只有当分类类数达到无穷时，值才为1。(see Siegel, 1956, p. 201).
一致性测量的解释。一致性测量的一个重要的缺点是不能象Pearson r (见相关分析)用根据概率或方差比例来解释结果。还没有公认的方法能清晰地解释分类变量间关联。
等级变量统计方法。许多情况下，交叉列表中的分类包含了一些有意义的排序信息；即排序量表测量的某些特征。假设样本中，用明确的标志说明他们对观看不同运动4种程度 (1)总是 (2) 经常 (3)有时 (4)从来不感兴趣.很明显，我们认为有时感兴趣预示着比总是感兴趣的兴趣低，等等。这样，我们将应答者所表现出来的观看足球的兴趣对其进行排序。当分类变量能以这种方式解释时，还可以计算其他的几个指标来表达变量间的关系。
Spearman R。如果不考虑Spearman R 是计算排序变量关联的方法，Spearman R 可认为就是常规Pearson相关系数 (Pearson r)，也是以方差解释比例来说明关联的大小。上文提到， Spearman R 假设所研究的变量至少是用排序量表所测量的；即每一观察对象能排成两个有序的系列。有关 Spearman R 统计, 其强度与效能可参见Gibbons (1985), Hays (1981), McNemar (1969), Siegel (1956), Siegel and Castellan (1988), Kendall (1948), Olds (1949), or Hotelling and Pabst (1936)。
Kendall tau. Kendall tau 在本质设想方面与Spearman R 一样。从统计效力上来说，两者是不相上下的。不过因为所构成的逻辑及计算的方程不同，因此Spearman R 与 Kendall tau 数值大小是不一致的，Siegel and Castellan (1988)将两种方法的关系用不等式表达如下：
-1 < = 3 * Kendall tau - 2 * Spearman R < = 1
更为重要的是，Kendall tau 与 Spearman R 内涵有着不同的解释：Spearman R 可认为是排序变量的普通Pearson 时间效应相关系数，而 Kendall tau 是概率。具体地说是两变量实际数据处于相同顺序的概率与处于不同顺序的概率差别。Kendall (1948, 1975), Everitt (1977),及 Siegel and Castellan (1988) 详细地讨论了 Kendall tau. 得到两个不同的tau值，通常称为 taub 与tauc。这两个统计量只有考虑所处理的数据间顺序有多紧密时才有所不同。大多情况下，这两个值是很接近的，当存在差异时用较小的值来解释比较安全。
Sommer's d: d(X|Y), d(Y|X). Sommer's d 是与tb 有关的非对称测量相关指标(见Siegel & Castellan, 1988, p. 303-310)。
Gamma. 当数据中包含许多一致性的观察对象时，Gamma 统计量优于Spearman R 或 Kendall tau。从本质设想来讲， Gamma 与Spearman R 或 Kendall tau是相同的；从解释与计算的角度上讲，Gamma与Kendall tau 更为相似，简言之 Gamma 也是一种概率，具体地说，通过计算两变量排序一致的概率减去排序不一致的概率再除以１减去一致性概率而得到的，因此Gamma 与Kendall tau基本上一致，只是Gamma 明确地考虑了数据一致性问题。有关 Gamma 统计量的详细论述可参考Goodman and Kruskal (1954, 1959, 1963, 1972), Siegel (1956), 及Siegel and Castellan (1988).
不定系数。不定系数是stochastic dependence的指标；stochastic dependence 这个概念来源于频数表分析的信息理论方法，使用者可参考有关书籍 (见 Kullback, 1959; Ku & Kullback, 1968; Ku, Varner, & Kullback, 1971; see also Bishop, Fienberg, & Holland, 1975, p. 344-348)。 S(Y,X)指的是对称dependence, S(X|Y)与 S(Y|X) 指的是非对称dependence.