单应性(homography)变换的公式推导过程_homography svd 求解-程序员宅基地

技术标签：图像

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矩阵的一个重要作用是将空间中的点变换到另一个空间中。这个作用在国内的《线性代数》教学中基本没有介绍。要能形像地理解这一作用，比较直观的方法就是图像变换，图像变换的方法很多，单应性变换是其中一种方法，单应性变换会涉及到单应性矩阵。单应性变换的目标是通过给定的几个点（通常是4对点）来得到单应性矩阵。下面单应性矩阵的推导过程。

H = ⎡ ⎣ ⎢ h 11 h 21 h 31 h 12 h 22 h 32 h 13 h 23 h 33 ⎤ ⎦ ⎥

矩阵

H H会将一幅图像上的一个点的坐标

a=(x,y,1) a=(x,y,1)映射成另一幅图像上的点的坐标

b=(x1,y1,1) b=(x1,y1,1)，也就是说，我们已知

a a和

b b，它们是在同一平面上。则有下面的公式：

b = H a T (1)

即：

⎧ ⎩ ⎨ x 1 = h 11 x + h 12 y + h 13 y 1 = h 21 x + h 22 y + h 23 1 = h 31 x + h 32 y + h 33 (2)

由上面这个公式中的

1=h31x+h32y+h33 1=h31x+h32y+h33可得到下面两个等式

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 = x 1 1 = h 11 x + h 12 y + h 13 h 31 x + h 32 y + h 33 y 1 = y 1 1 = h 21 x + h 22 y + h 23 h 31 x + h 32 y + h 33 (3)

\Rightarrow

{h 11 x + h 12 y + h 13 = h 31 x x 1 + h 32 y x 1 + h 33 x 1 h 21 x + h 22 y + h 23 = h 31 x y 1 + h 32 y y 1 + h 33 y 1 (4)

\Rightarrow

{0 = h 31 x x 1 + h 32 y x 1 + h 33 x 1 - (h 11 x + h 12 y + h 13) 0 = h 31 x y 1 + h 32 y y 1 + h 33 y 1 - (h 21 x + h 22 y + h 23) (5)

对于方程

(???) (???) ，可写成一个矩阵与一个向量相乘，即：

[- x 0 - y 0 - 1 0 0 - x 0 - y 0 - 1 x x 1 x y 1 y x 1 y y 1 x 1 y 1] h = 0 (6)

其中，

h=[h11,h12,h13,h21,h22,h23,h31,h32,h33]T h=[h11,h12,h13,h21,h22,h23,h31,h32,h33]T，是一个9维的列向量。若令:

A = [- x 0 - y 0 - 1 0 0 - x 0 - y 0 - 1 x x 1 x y 1 y x 1 y y 1 x 1 y 1] (7)

则

(6) (6)可以记为

A h = 0 (8)

这里的

A∈R2×9 A∈R2×9。这只是1对点所得到的矩阵

A A，若有4对点，则得到的矩阵

A∈R8×9 A∈R8×9。如何求解向量

h h呢？方法很简单，真接对

A A进行SVD分解，即

U * Σ * V T (9)

然后取

V V的最后一列出来作为求解

h h。因为矩阵

A A是行满秩，即只有一个自由度。
具体实现时，先要得到两幅图，然后在两幅图之间找到4对点的坐标，由此得到矩阵

A A，然后在matlab中可以这样实现:

[U,S,V]=svd(A);

h=V(:,9);

H= reshape(h,3,3);

由单应性矩阵可以得到仿射变换，还可以在单应性矩阵上做图像拼接。

本文链接：https://blog.csdn.net/ccblogger/article/details/73467525

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