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[3D基础]理解计算机3D图形学中的坐标系变换

要谈坐标系变换，那么坐标系有哪些呢？依次有:物体坐标系，世界坐标系，相机坐标系，投影坐标系以及屏幕坐标系.我要讨论的就是这些坐标系间的转换。
     这些坐标系不是凭空而来，他们都是为了完成计算机3D图形学最最最基本的目标而出现.
      计算机3D图形学最最最基本的目标就是:将构建好的3D物体显示在2D屏幕坐标上.
      初看好像就是将最初的物体坐标系转换到屏幕坐标系就可以了呀，为什么多出了世界坐标系,相机坐标系，投影坐标 系。这是因为:在一个大世界里有多个物体，而每个物体都有自己的坐标系，如何表述这些物体间相对的关系，这个多出了世界坐标系；如果只需要看到这个世界其 中一部分，这里就多出了相机坐标系；至于投影坐标系那是因为直接将3D坐标转换为屏幕坐标是非常复杂的(因为它们不仅维度不同,度量不同（屏幕坐标一般都 是像素为单位,3D空间中我们可以现实世界的米，厘米为单位），XY的方向也不同，在2D空间时还要进行坐标系变换),所以先将3D坐标降维到2D坐标, 然后2D坐标转换到屏幕坐标。
理解3D图形学的第一步:理解左手坐标系与右手坐标系
      为什么会有左手坐标系与右手坐标系之分？
      在3D空间(没错！就是3D)中，所有2D坐标系是等价的（就是通过一系列的仿射变换，可以互相转换）
      而3D坐标系不是等价的，通过仿射变换，是无法将左手坐标系转换到右手坐标系；也就是说，物体坐标系用的就是左手坐标系，世界坐标系用的是右手 坐标系，那么物体可能就是不会是我们所希望的样子了，可能是倒立的，也可能是背对着我们的，所以我们要区分左手坐标系与右手坐标系。也许在4D空间，左右 手坐标系就可以互相变换了吧。
      进入正题吧:
     首先讨论的是物体坐标系->世界坐标系 
      前面说了为了描述多个物体间相对的关系，这里引进了世界坐标系,所以世界坐标系是个参考坐标系。
      这一步的目的将所有的物体的点都转移到世界坐标系，这里主要涉及的是旋转，缩放，平移等。
      不过我将详细说明为何及如何用矩阵来描述这些变换。
      例:如果有两个坐标系C与C`, C`是C绕Z轴旋转θ得到的。下面是各坐标轴的变换：
                 注：此处C_z^'的纵坐标应为1

     如果是C坐标系的点P（x, y, z），而在C`的表示就是
      注：此处Z’轴坐标应为z，为作者笔误，且C‘是C绕Z轴顺时针方向旋转

     这时该如何建立矩阵呢? 答案就是区分你用的是行向量还是列向量.也许有人会问为什么不区分是左手坐标系还是右手坐标系呢？因为C可以变换到C`,那么他们一定是同在左手坐标系或右手坐标系,变换只能在可以互相转换的坐标系之间进行。
      如果你用的是行向量：由于行向量只能左乘矩阵(注意乘与乘以的区别)
      所以矩阵形式应该是这样
      
     只有这样，在左乘矩阵时才能得到上面P`的形式。
      
     如果你用的是列向量: 由于列向量只能右乘矩阵(注意乘与乘以的区别)
     所以矩阵形式应该是这样
      
     只有这样，在右乘矩阵时才能得到上面P`的形式。
    
     至于如何旋转，缩放，平移我不在多说。
     …………………………………
     我们再讨论世界坐标系->相机坐标系 
     引进相机的目的就是只需看到世界的一部分，而哪些是可以在相机里看到的，就需要进行筛选。将物体转换到相机坐标系，这样相机坐标系进行筛选时就会简单很多。这里的重点是构建相机坐标系。
     物体坐标系，世界坐标系是美工在绘制时就定义好了的。而相机坐标系是需要程序实时构建的。（当然这是通常情况下，如果你要建立一个世界，这个世界都是围绕 你转，要实时改变所有物体坐标系，固定相机坐标系（其实这时候相机坐标系就是世界坐标系），建立一个地心说的世界，我也没办法，你的思维也太不一样了。）
     如何构建相机坐标系呢？首先我们要明确目标：我们是要构建3D坐标系(好像是废话)，三个坐标轴要互相垂直(也好像是废话).
      我们一般用UVN相机。例如:D3D的D3DXMatrixLookAtLH，D3DXMatrixLookAtRH，OGL的gluLookAt(右手坐标系).
      如何建立呢UVN相机呢? 我们就要利用叉积这个工具了：两个不平行，不重叠的向量的叉积可以得到与这两个向量互相垂直的向量。
      如果有了相机的位置与目标的位置那么我们可以确定一个Z轴（有人问为什么是Z轴，因为物体的远与近我们就习惯用Z值来表示的）。求Z轴时要注意 是左手坐标系还是右手坐标系，左右手坐标系XY轴方向相同时，Z轴的方向相反。所以左手坐标系是目标位置减去相机位置，而右手坐标系则是相机位置减去目标 位置。记得normalize
     这是我们要得到X与Y轴了。如何求X，Y轴呢？
     一般方法是：
     1、选择一个临时Y轴，
     2、对临时Y 与Z 轴进行叉积求得一个X轴
     3、X轴再与Z轴进行叉积，得到一个Y轴。
     有了XYZ就可以求出旋转的相机矩阵了。
     如何选择一个Y轴呢？大多数情况下是（0，1，0），但是如果是相机位置E与目标位置T垂直,即（E-T=（0，+/-1，0）时），这时就不能用(0,1,0)了， 因为两个平行向量的叉积是零向量，所以我们就要另选一个Y轴。
     但是我觉得我们可以改变方法。
      如果不能选Y轴，我们就选择一个临时X轴，这个临时Ｘ轴就是（1，0，0）。
     然后再对临时X轴与Z轴进行叉积求得一个Y轴。
     最后Y轴再与Z轴进行叉积，得到X轴。
      这样可以得到XYZ轴。
      最后再根据行向量与列向量建立相机矩阵，再进行平移。

     相机坐标系->投影坐标系 .
     投影的目的就是：降维.
      两种投影方式：正交投影与透视投影.
      在我们TEAM中易颖已经写了，我就不多说了，大家去看他的文章。

     投影坐标系->屏幕坐标系
      这是最简单的。2D坐标变换。也不多说。

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计算机图形学透视投影变换原理及一点和两点透视

一、平行互分法

吴英凡所写的《透视作图的新方法——交点法体系》，其中谈到的平行互分法，还是有道理的。

其实简单点说，就是透视图上的两条“原来空间中的平行线”（在画面上透视投影为相交于灭点），通过其中一条透视投影直线的端点画另一条透视投影直线的平行线，必平行于画面；这第三条线在画面的透视投影的灭点必然在另一条透视投影线上。

二、透视投影变换学习总结

1、用多维数列表示低维空间坐标,加深理解齐次坐标表示法。

    齐次坐标表示法可以方便地运算，同时形状不变。[x,y,z,0]表示一个无穷的点。

   

2、透视投影变换公式可以看成两个矩阵的乘积，其中一个做透视变换，另外一个作正投影

   保留的z'值的确切含义：指的是在完全作完透视投影变换之前，仅作透视投影之后的一条线.

   它的几何意义见李建平《计算机图形学原理教程》第44页。

3、左手和右手坐标系的坐标转换

   “视点坐标系与一般的物体所在的世界坐标系不同，它遵循左手法则，即左手大拇指指向Z正轴，与之垂直的四个手指指向X正轴，四指弯曲90度的方向是Y正轴。而世界坐标系遵循右手法则的。”

4、视点坐标系的透视变换公式很重要！！王飞著计算机图形学书65页

5、z'值的确切含义：指的是在完全作完透视投影变换之前，仅作透视投影之后的一条线

三、两点透视的变换矩阵：

王飞编著《计算机图形学基础》的道理是：

从平面图形的平移、旋转、错切开始推导，两点透视的变换矩阵可以看成是：

物体本身有一个物体坐标系——xw,yw,zw，视点作为原点又构成一个视点坐标系——xe，ye，ze，物体坐标系z轴朝上，y轴朝向远处；而视点坐标系y轴朝上，z轴朝向远处。

这样，最终的二点透视状态可以这样取得，首先把物体的位置的物体坐标系表示法转化为视点坐标系的表示法（第一个矩阵），然后围绕视点坐标系的y轴旋转（第二个矩阵），然后在x，y，z方向上平移（第三个矩阵），最后做透视变换（第四个矩阵），它的原文是把平移放在第二步，我在平移之前转动，目的是保证了物体旋转的轴在离它不远的地方：

我使用的矩阵变换如下，原文是是把平移放在第二步：

[xw,yw,zw,1]*  * * *

最后所得结果是一个新的矩阵，

[xe ye ze 1]=[cos *xw-sin *yw+l   zw+m   2sin *xw+2cos *yw+2n-d   (sin *xw+cos*yw+n）/d]

把最后一项变成1，可得

=[(cos *xw-sin *yw+l)*d/(sin *xw+cos *yw+n   (zw+m)*d/(sin *xw+cos *yw+n)   （2sin*xw+2cos *yw+2n-d）*d/(sin *xw+cos *yw+n)    1 ]

即：

Xe= (cos *xw-sin *yw+l)*d/(sin *xw+cos *yw+n)

Ye=(zw+m)*d/(sin *xw+cos *yw+n)

Ze=(2sin *xw+2cos *yw+2*n-d)*d/(sin *xw+cos *yw+n)

实际上我的delphi程序里面是这样的：

xe:=trunc((cos(angle)*eee[ii][k].X-sin(angle)*eee[ii][k].Y+l)*d/(sin(angle)*eee[ii][k].X+cos(angle)*eee[ii][k].Y+n));

        ye:=trunc((hhh[ii][k]+m)*d/(sin(angle)*eee[ii][k].X+cos(angle)*eee[ii][k].Y+n)); //透视变换

        //ze可以考虑使用作为消隐

Ze:=trunc((2*sin(angle)*xw+2*cos(angle)*yw+2*n-d)*d/(sin(angle)*xw+cos(angle)*yw+n));

四、通过变换过的两点透视的结果xe,ye，zw和 *，反求原来的物体坐标xw,yw

即：xe,ye，zw和 已知，求出xw,yw

根据：

Xe= (cos *xw-sin *yw+l)*d/(sin *xw+cos *yw+n)          （1）

Ye=(zw+m)*d/(sin *xw+cos *yw+n)                         （2）

Ze=（2sin *xw+2cos *yw+2n-d）*d/(sin *xw+cos *yw+n) （3）

（1）除以（2）得

Xe/Ye= (cos *xw-sin *yw+l)/ (zw+m)

(Xe*(zw+m))/Ye=cos *xw-sin *yw+l

(Xe*(zw+m))/(Ye* cos )=xw-tan *yw+l/cos

Xw=(Xe*(zw+m))/ (Ye* cos ) - (ye*l)/(Ye* cos )+( sin *yw*ye)/ (Ye* cos )

Xw=(Xe*(zw+m)+ sin *yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos )            (4)

由（2）得

Ye*(sin *xw+cos *yw+n)= (zw+m)*d

Ye*(sin *xw)+ye* cos *yw+n*ye=(zw+m)*d

把（4）代入上式得

Ye* sin *( Xe* (zw+m)+ sin *yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos ) +ye* cos *yw+n*ye=(zw+m)*d

约去ye，得

sin *( Xe* (zw+m)+ sin *yw*ye- ye*l)/ cos +ye* cos *yw+n*ye=(zw+m)*d

tan *( Xe* zw+xe*m+ sin *yw*ye- ye*l) +ye* cos *yw+n*ye=(zw+m)*d

tan * Xe* zw+xe*m * tan - ye*l* tan + sin * tan *yw *ye +ye* cos *yw+n*ye=(zw+m)*d

(sin * tan *ye +ye* cos )*yw+ tan * Xe* zw +xe*m * tan - ye*l* tan +n*ye=(zw+m)*d

最后得

Yw=[(zw+m)*d- tan * Xe* zw- xe*m * tan + ye*l* tan - n*ye]/ (sin * tan *ye +ye* cos ) （5）

而前面已经得到

Xw=(Xe*(zw+m)+ sin *yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos )            (4)

实际上相当于opengl里面的逆变换，从鼠标选中的屏幕位置来确定对应的三维空间中位置，opengl使用gluUnProject和gluUnProject4来计算。