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计算机控制系统—双线性变换法
第三章 计算机控制系统设计方法 第一节 连续域-离散化设计 第二节 最少拍数字控制系统的设计 第三节 最少拍无纹波数字控制系统设计 第四节 大林算法 * —计算机控制系统— —计算机控制系统— —计算机控制系统— * 第3章 计算机控制系统设计方法 Design method of Computer Control System 机电工程学院曹凤 线性离散系统的数学描述形式和线性连续系统的数学描述形式是相对应的，通常有差分方程、z传递函数(又称脉冲传递函数)、单位脉冲响应序列(又称权序列)、离散状态空间表达式等4种数学描述形式。分别与连续系统的4种数学描述形式相对应。 第三章 计算机控制系统设计方法 第三章 1----* 计算机控制系统属于数字控制系统。所以，计算机控制系统控制器的设计属于数字控制器的设计。关于数字控制器的设计，有直接法和模拟法两种，这两种方法各有其特色，本章将分别给予介绍。 第一节 连续域——离散化设计 一、设计的基本原理和步骤 连续域——离散化设计分以下五个步骤完成： 第1步：根据系统的性能和要求，选择采样频率。 第2步：教材3-2所示，由于保持器会引入延迟，根据系统预定的性能指标，采用连续域的设计方法，设计出数字控制器的等效传递函数。保持器常采用零阶保持器，其一阶和二阶近似式表示如下： 第三章 1----* (3-1) (3-2) 图3-2 连续域内等效设计框图 第3步：选择适当的离散化方法，将D(s)离散化获得性能尽量等效的脉冲传递函数D(z)。 第4步：针对由D(z)构成的离散闭环控制系统，检验其闭环性能。如图3-3所示。 第5步：将D(z)编制成数字算法，在计算机上编程实现。 二、前向差分法 设模拟控制器传递函数为 (3-3) 转换成微分方程为 (3-4) 以一阶前向差分近似该微分，并代入(3-4)式，得 (3-5) 令k+1=n,上式的z变换为 或 (3-6) 比较式(3-6)和式(3-3)可见，连续传递函数中的s在离散传递函数中的置换公式为 推而广之，即给定模拟控制器传递函数D(s)，其等效离散传递函数D(z)为： (3-7) 下面讨论s平面和z平面之间的映射关系。 因为平面上的虚轴( 轴)是稳定与不稳定区域的分界线，所以应着重研究 轴在z平面内的映象。 由 得：Z=1+TS 令 代入后可见，s平面上 轴映射在z平面上将右移1个单位，所以，采用前向差分法离散化，D(s)稳定，D(z)不一定稳定。 前向差分法的特点总结如下： 1、直接代换，具有串联性，变换方便； 2、整个s左半平面映射到z平面z=1以左的区域，故D(s)与D(z)不具有相同的稳定性； 3、因为D(s)|s=0=D(z)|z=1，故稳态增益维持不变； 4、当采样周期T较小时，等效精度较好。 三、后向差分法 设模拟控制器传递函数为 图3-5 前向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象 (3-8) 转换成微分方程 (3-9) 以一阶后向差分近似微分，得 (3-10) 代入式(3-9)得 对上式进行z变换，经整理为 (3-11) 比较式(3-11)与式(3-8)，得s和z的置换公式为 (3-12) 推广而言，后向差分的离散化公式为 (3-13) 因为 则 当 时，可得 四、双线性变换法(Tustin变换法) 1、离散化公式 图3-7中曲线r(t)以下的积分面积 可采用个梯形面积之和来近似表示 (3-15) 其中前个梯形面积之和表示为C(k-1)。 对式(3-15)两端求z变换，经整理，可得 显然，s平面的虚轴以左映射为z平面单位圆之内的一个小圆，如图3-6所示。所以，稳定的D(s)对应的D(z)也必定稳定。 图3-6 后向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象 图3-7 梯形规则数值积分 对式(3-15)两端求z变换，经整理，可得 对比模拟控制器传递函数 显然此时的转换关系为 (3-16) 由此可得双线性变换(梯形积分规则或Tustin变换)的离散化公式为 (3-17) 2、映射 由式(3-16)可得 令s=jω，可得|z|=1，相位随ω而变化，此即z平面的单位圆，如图3-8所示。可见，若D(s)稳定，D(z)也一定稳定。 图3-8 双线性变换法S平面稳定域 在z平面内的映象 3、频率畸变与预修正 令s=jω，z=ejωdt。这里，ω表示s域的角频率，ωd表示z 域的角频率。根据置换公式，可得 则 即
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