n条直线最多把平面分割成几部分? n个平面最多把空间分割成几部分?_k条直线可以将平面最多分割成(k^2 k 2)/2个部分 给出此部分证明-程序员宅基地

技术标签: 数学  

看了一道水题,发现这个两个问题值得记录一下。



一,直线分割平面:



首先考虑 n条直线最多把平面分成an部分

于是a0=1 a1=2 a2=4

对于已经有n条直线 将平面分成了最多的an块

那么加一条直线 他最多与前n条直线有n个交点 于是被它穿过的区域都被一分为二 那么增加的区域数就是穿过的区域

数 也就是这条直线自身被分成的段数 就是n+1 故 a(n+1) = an+n+1

an = n+(n-1)+...+2+a1 = n(n+1)/2 +1



二,平面分割空间:



设n个平面最多把空间分成bn个部分

于是b0=1 b1=2 b2=4

对于已经有n个平面 将空间分成了最多的bn块

那么加入一个平面 它最多与每个平面相交 在它的上面就会得到至多n条交线

同时被它穿过的空间区域也被它一分为二 那么增加的区域数仍旧是它穿过的区域数 也就是这个平面自身被直线分割

成的块数 就是an

于是b(n+1)=bn+an

bn=a(n-1)+b(n-1)=...=a(n-1)+a(n-2)+...+a1+b1

=(n-1)n/2 +(n-2)(n-1)/2+...+1*(1+1)/2+n+2

=求和[1方到(n-1)方]/2 + 求和[1到(n-1)]/2 +n+1

=n(n-1)(2n-1)/12 +n(n-1)/4 +n+1

=n(n+1)(n-1)/6 +n+1

=(n^3+5n+6)/6



三,直线分割空间:


由上所述,直接可以得到公式: an = (n*(n+1)/2+1) * (n^3+5n+6)/6

                                                        = (n^5+n^4+7*n^3+11*n^2+16*n)/12+1


四,折线分割平面:


 根据直线分平面可知,由交点决定了射线和线段的条数,进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时,区域数为f(n-1)。为了使增加的区域最多,则折线的两边的线段要和n-1条折线的边,即2*(n-1)条线段相交。那么新增的线段数为4*(n-1),射线数为2。但要注意的是,折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。


 故:f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

                      =f(n-1)+4(n-1)+1

                     =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

                     ……

                     =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)   

                     =2n^2-n+1





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